Satz von Seifert-Van Kampen - Seifert–Van Kampen theorem

In der Mathematik drückt das Seifert-Van Kampen-Theorem der algebraischen Topologie (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen ), manchmal auch nur Van Kampen-Theorem genannt , die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raums in Bezug auf die Fundamentalgruppen von zwei offenen , pfadverbundene Unterräume, die . Es kann daher für Berechnungen der Fundamentalgruppe von Räumen verwendet werden, die aus einfacheren Räumen aufgebaut sind. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Satz von Van Kampen für Fundamentalgruppen

Sei X ein topologischer Raum, der die Vereinigung zweier offener und pfadverbundener Unterräume U ₁ , U _{2 ist} . Angenommen , U ₁ ∩ U ₂ ist Pfad verbunden und nicht leer, und lassen x ₀ in einem Punkt U ₁ ∩ U ₂ , die als die Basis für alle grundlegenden Gruppen verwendet wird. Die Einschlusskarten von U ₁ und U ₂ in X induzieren Gruppenhomomorphismen und . Dann X ist Pfad verbunden ist und und ein kommutatives bilden Pushout Diagramm: ${\displaystyle j_{1}:\pi_{1}(U_{1},x_{0})\to \pi_{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle j_{2}:\pi_{1}(U_{2},x_{0})\to \pi_{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle j_{2}}$

Der natürliche Morphismus k ist ein Isomorphismus. Das heißt, die Fundamentalgruppe von X ist das freie Produkt der Fundamentalgruppen von U ₁ und U ₂ mit der Amalgamierung von . ${\displaystyle \pi_{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})}$

Normalerweise sind die durch die Einbeziehung in diesen Satz induzierten Morphismen selbst nicht injektiv, und die genauere Version der Aussage bezieht sich auf das Ausstoßen von Gruppen.

Satz von Van Kampen für fundamentale Gruppoide

Leider berechnet der oben angegebene Satz nicht die Fundamentalgruppe des Kreises, die das wichtigste grundlegende Beispiel in der algebraischen Topologie ist. Der Grund dafür ist, dass der Kreis nicht als Vereinigung zweier offener Mengen mit zusammenhängenden Schnittmengen realisiert werden kann. Dieses Problem kann gelöst werden, indem man mit dem Fundamentalgruppoid an einer Menge A von Basispunkten arbeitet, die entsprechend der Geometrie der Situation ausgewählt werden. Für den Kreis verwendet man also zwei Basispunkte. ${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$

Diese Gruppoid besteht aus Homotopieklassen relativ zu den Endpunkten von Pfaden in X Punkten des Verbindens A ∩ X . Insbesondere wenn X ein kontrahierbarer Raum ist und A aus zwei verschiedenen Punkten von X besteht , dann ist leicht zu erkennen, dass es isomorph zu dem Gruppoid ist, das oft mit zwei Ecken und genau einem Morphismus zwischen zwei beliebigen Ecken geschrieben wird. Dieses Gruppoid spielt in der Gruppoidtheorie eine analoge Rolle wie die Gruppe der ganzen Zahlen in der Gruppentheorie. Das Gruppoid erlaubt auch für Gruppoide eine Vorstellung von Homotopie: Es ist ein Einheitsintervallobjekt in der Kategorie der Gruppoiden. ${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$${\displaystyle {\mathcal{I}}}$${\displaystyle {\mathcal{I}}}$

Eine zusammenhängende Vereinigung zweier nicht zusammenhängender Räume mit einer Menge von Basispunkten

Die Kategorie der Groupoiden lässt alle Colimits und insbesondere alle Pushouts zu.

Satz. Der topologische Raum X sei von den Inneren zweier Unterräume X ₁ , X ₂ bedeckt und sei A eine Menge, die jeder Wegkomponente von X ₁ , X ₂ und X ₀ = X ₁ ∩ X _{2 entspricht} . Dann trifft A auf jede Pfadkomponente von X und das Diagramm P der durch Inklusion induzierten Morphismen

ist ein Pushout-Diagramm in der Kategorie der Gruppoiden.

Dieser Satz gibt den Übergang von der Topologie zur Algebra, indem er das fundamentale Gruppoid vollständig bestimmt ; man muss dann Algebra und Kombinatorik verwenden, um eine Fundamentalgruppe an einem Basispunkt zu bestimmen. ${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$

Eine Interpretation des Theorems ist, dass es Homotopie-1-Typen berechnet. Um seine Nützlichkeit zu sehen, kann man leicht Fälle finden, in denen X zusammenhängend ist, aber die Vereinigung der Inneren zweier Unterräume ist, jeder mit beispielsweise 402 Pfadkomponenten und deren Schnittpunkt beispielsweise 1004 Pfadkomponenten hat. Die Interpretation dieses Theorems als Berechnungswerkzeug für "fundamentale Gruppen" erfordert eine Weiterentwicklung der "kombinatorischen Gruppoidtheorie". Dieser Satz impliziert die Berechnung der Fundamentalgruppe des Kreises als Gruppe der ganzen Zahlen, da die Gruppe der ganzen Zahlen aus dem Gruppoid erhalten wird, indem in der Kategorie der Gruppoiden seine beiden Ecken identifiziert werden. ${\displaystyle {\mathcal{I}}}$

Es gibt eine Version des letzten Satzes, wenn X durch die Vereinigung der Inneren einer Familie von Teilmengen abgedeckt ist . ${\displaystyle \{U_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}}$

Die Schlussfolgerung ist, dass, wenn A jede Pfadkomponente aller 1,2,3-fachen Schnittpunkte der Mengen trifft , A alle Pfadkomponenten von X und dem Diagramm erfüllt${\displaystyle U_{\lambda}}$

${\displaystyle \bigsqcup_{(\lambda,\mu)\in\Lambda^{2}}\pi_{1}(U_{\lambda}\cap U_{\mu},A)\rightarrows \bigsqcup_ {\lambda\in\Lambda}\pi_{1}(U_{\lambda},A)\rightarrow \pi_{1}(X,A)}$

der durch Einschlüsse induzierten Morphismen ist ein Koequalizer in der Kategorie der Gruppoide.

[...] die Leute beim Rechnen mit Fundamentalgruppen immer noch hartnäckig darauf bestehen, einen einzigen Basispunkt festzulegen, anstatt geschickt ein ganzes Paket von Punkten zu wählen, die unter den Symmetrien der Situation invariant sind und so unterwegs verloren gehen. In bestimmten Situationen (wie Abstiegssätze für Fundamentalgruppen à la Van Kampen) ist es viel eleganter, ja sogar unabdingbar, um etwas zu verstehen, mit Fundamentalgruppoiden bezüglich eines geeigneten Pakets von Basispunkten [...]

—  Alexander Grothendieck , Esquisse d'un Program (Abschnitt 2, englische Übersetzung )

Äquivalente Formulierungen

In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist if ein topologischer Raum; und sind offene, pfadverbundene Unterräume von ; ist nicht leer und pfadbezogen; und ; dann ist das freie Produkt mit Amalgamierung von und , bezüglich der (nicht unbedingt injektiven) Homomorphismen und . Gegebene Gruppenpräsentationen : ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\cap V}$${\displaystyle w\in U\cap V}$${\displaystyle \pi_{1}(X,w)}$${\displaystyle \pi_{1}(U,w)}$${\displaystyle \pi_{1}(V,w)}$${\displaystyle I:\pi_{1}(U\cap V,w)\to \pi_{1}(U,w)}$${\displaystyle J:\pi_{1}(U\cap V,w)\to \pi_{1}(V,w)}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\pi_{1}(U,w)&=\langle u_{1},\cdots,u_{k}\mid \alpha_{1},\cdots,\alpha _{l}\rangle \\\pi_{1}(V,w)&=\langle v_{1},\cdots,v_{m}\mid \beta_{1},\cdots,\beta_ {n}\rangle \\\pi_{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\cdots,w_{p}\mid \gamma_{1},\cdots,\ Gamma _{q}\rangle \end{ausgerichtet}}}$

der Zusammenschluss kann dargestellt werden als

${\displaystyle \pi_{1}(X,w)=\left\langle u_{1},\cdots,u_{k},v_{1},\cdots,v_{m}\left|\alpha_ {1},\cdots,\alpha_{l},\beta_{1},\cdots,\beta_{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1} ,\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}$

In der Kategorie Theorie , ist die Pushout- , in der Kategorie der Gruppen des Diagramms: ${\displaystyle \pi_{1}(X,w)}$

${\displaystyle \pi_{1}(U,w)\gets \pi_{1}(U\cap V,w)\to \pi_{1}(V,w).}$

Beispiele

2-Kugel

Mit dem Satz von Van Kampen kann man Fundamentalgruppen für topologische Räume berechnen, die in einfachere Räume zerlegt werden können. Betrachten Sie zum Beispiel die Kugel . Wählen Sie offene Mengen und wobei n und s den Nord- bzw. Südpol bezeichnen. Dann haben wir die Eigenschaft, dass A , B und A ∩ B offene zusammenhängende Mengen sind. So können wir sehen, dass es ein kommutatives Diagramm gibt, das A ∩ B in A und B einschließt und dann eine weitere Inklusion von A und B in und dass es ein entsprechendes Diagramm von Homomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen jedes Unterraums gibt. Die Anwendung des Satzes von Van Kampen ergibt das Ergebnis ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle A=S^{2}\setminus \{n\}}$${\displaystyle B=S^{2}\setminus \{s\}}$${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle \pi_{1}(S^{2})=\pi_{1}(A)\cdot \pi_{1}(B)/\ker(\Phi).}$

Jedoch A und B sind beide homeomorphic bis R ² , die einfach verbunden ist, so dass sowohl A und B trivial grundlegende Gruppen aufweisen. Daraus wird deutlich, dass die Fundamentalgruppe von trivial ist. ${\displaystyle S^{2}}$

Keilsumme der Felder

Gegeben seien zwei spitz zulauf Räume und wir können ihre bilden Keil Summe , durch den Quotienten des Nehmens von ihren beiden basepoints identifizieren. ${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle (Y,y)}$${\displaystyle (X\vee Y,p)}$${\displaystyle X\coprod Y}$

Wenn eine kontrahierbare offene Umgebung gibt und gibt eine kontrahierbare offene Umgebung (was der Fall ist , wenn, zum Beispiel, und sind CW - Komplexe ), dann können wir den Van Kampen Satz anzuwenden , indem sie und wie die beiden offenen Mengen und wir schließen , dass die Fundamentalgruppe des Keils ist das freie Produkt der Fundamentalgruppen der beiden Räume, mit denen wir begonnen haben: ${\displaystyle x}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle V\subset Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\vee Y}$${\displaystyle X\vee V}$${\displaystyle U\vee Y}$

${\displaystyle \pi_{1}(X\vee Y,p)\cong \pi_{1}(X,x)*\pi_{1}(Y,y)}$.

Orientierbare Oberflächen der Gattung g

Ein komplizierteres Beispiel ist die Berechnung der grundlegenden Gruppe von einem Genus n orientierbare Oberfläche S , ansonsten bekannt als der Genus n Oberflächengruppe . Man kann S mit seinem Standard-Fundamentalpolygon konstruieren . Wählen Sie für die erste offene Menge A eine Scheibe in der Mitte des Polygons. Wähle B als Komplement in S des Mittelpunkts von A . Dann ist der Schnittpunkt von A und B ein Kreisring, von dem bekannt ist, dass er homotopieäquivalent zu einem Kreis ist (und daher die gleiche Fundamentalgruppe hat wie). Dann , das sind die ganzen Zahlen, und . Somit schickt die Einbeziehung von in einen beliebigen Generator zum trivialen Element. Die Einbeziehung von in ist jedoch nicht trivial. Um dies zu verstehen, muss man zuerst berechnen . Dies ist leicht möglich, da man B (das ist S mit einem gelöschten Punkt) auf die mit gekennzeichneten Kanten zurückziehen kann${\displaystyle \pi_{1}(A\cap B)=\pi_{1}(S^{1})}$${\displaystyle \pi_{1}(A)=\pi_{1}(D^{2})={1}}$${\displaystyle \pi_{1}(A\cap B)}$${\displaystyle \pi_{1}(A)}$${\displaystyle \pi_{1}(A\cap B)}$${\displaystyle \pi_{1}(B)}$${\displaystyle \pi_{1}(B)}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2} ^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}.}$

Dieser Raum ist bekanntlich die Keilsumme von 2 n Kreisen (auch Kreisstrauß genannt ), von denen weiterhin bekannt ist, dass die Fundamentalgruppe isomorph zur freien Gruppe mit 2 n Generatoren ist, die in diesem Fall durch die Kanten dargestellt werden können selbst: . Wir haben jetzt genug Informationen, um den Satz von Van Kampen anzuwenden. Die Generatoren sind die Schleifen ( A ist einfach verbunden, trägt also keine Generatoren bei) und es gibt genau eine Beziehung: ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots,A_{n},B_{n}\}}$${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots,A_{n},B_{n}\}}$

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2} ^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.}$

Mit Generatoren und Relationen wird diese Gruppe als . bezeichnet

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_ {1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Einfache Verbundenheit

Wenn X ein Raum ist, der sich als Vereinigung zweier offener einfach zusammenhängender Mengen U und V mit U ∩ V nichtleer und wegzusammenhängend schreiben lässt , dann ist X einfach zusammenhängend.

Verallgemeinerungen

Wie oben erläutert, wurde dieser Satz von Ronald Brown auf den nicht zusammenhängenden Fall erweitert, indem das Fundamental-Gruppoid auf einer Menge A von Basispunkten verwendet wurde. Der Satz für beliebige Hüllen mit der Einschränkung, dass A alle dreifachen Schnittmengen der Mengen der Hülle erfüllt, wird in der Arbeit von Brown und Abdul Razak Salleh gegeben. Das Theorem und der Beweis für die Fundamentalgruppe, jedoch unter Verwendung einiger gruppoider Methoden, werden auch in J. Peter Mays Buch gegeben. Die Version, die mehr als zwei überlappende Mengen erlaubt, aber mit A ein Singleton, ist auch in Allen Hatchers Buch unten, Satz 1.20, angegeben. ${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$

Anwendungen des fundamentalen Gruppoids auf eine Menge von Basispunkten auf den Jordan-Kurvensatz , die Räume überdecken und Bahnräume werden in Ronald Browns Buch gegeben. Im Fall von Bahnräumen ist es zweckmäßig, A zu nehmen , um alle Fixpunkte der Aktion einzuschließen. Ein Beispiel hier ist die Konjugationsaktion auf dem Kreis.

Verweise auf höherdimensionale Versionen des Satzes, die einige Informationen über Homotopietypen liefern, werden in einem Artikel über höherdimensionale Gruppentheorien und Gruppoide gegeben. So wurde von Ronald Brown und Philip J. Higgins ein 2-dimensionales Van-Kampen-Theorem gegeben, das nichtabelsche zweite relative Homotopiegruppen berechnet. Eine vollständige Darstellung und Erweiterungen zu allen Dimensionen werden von Brown, Higgins und Rafael Sivera gegeben, während eine Erweiterung auf n- Würfel von Räumen von Ronald Brown und Jean-Louis Loday gegeben wird .

Fundamentale Gruppen treten auch in der algebraischen Geometrie auf und sind das Hauptthema von Alexander Grothendiecks erstem Séminaire de géométrie algébrique (SGA1). Dort erscheint eine Version des Satzes von Van Kampen, die auf ganz andere Weise bewiesen wird als in der algebraischen Topologie, nämlich durch die Abstammungstheorie. Ein ähnlicher Beweis funktioniert in der algebraischen Topologie.

Siehe auch

• Höherdimensionale Algebra
• Theorie der höheren Kategorie
• Pseudokreis
• Ronald Brown (Mathematiker)

Anmerkungen

Verweise

• Allen Hatcher, Algebraische Topologie. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 S. ISBN  0-521-79160-X und ISBN  0-521-79540-0
• Peter May, Ein kompakter Kurs in algebraischer Topologie. (1999) University of Chicago Press, ISBN  0-226-51183-9 (Abschnitt 2.7 bietet eine kategorietheoretische Darstellung des Satzes als Colimit in der Kategorie der Gruppoide) .
• Ronald Brown, Groupoids und der Satz von Van Kampen, Proc. London Math. Soz . (3) 17 (1967) 385–401.
• Mathoverflow-Diskussion zu vielen Basispunkten
• Ronald Brown, Topologie und Gruppoide (2006) Booksurge LLC ISBN  1-4196-2722-8
• R. Brown und A. Razak, Theorem von Van Kampen für Vereinigungen nicht zusammenhängender Räume, Archiv. Mathematik. 42 (1984) 85–88. (Dieser Beitrag gibt wahrscheinlich die optimale Version des Satzes, nämlich die gruppoide Version des Satzes für eine beliebige offene Abdeckung und eine Menge von Basispunkten, die jede Pfadkomponente von jedem 1-2-3-fachen Schnittpunkt der Mengen von Die Titelseite.)
• PJ Higgins, Kategorien und Gruppoide (1971) Van Nostrand Reinhold
• Ronald Brown, Höherdimensionale Gruppentheorie (2007) (Gibt einen breiten Überblick über höherdimensionale Van Kampen-Theoreme mit mehreren Gruppoiden) .
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Algebraische Topologie. Ein erster Kurs , Vorlesungsreihe Mathematik, 58 , Benjamin/Cummings, ISBN 0805335579
• Seifert, H., Konstruktion drei dimensionaler geschlossener Räume . Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• ER van Kampen. Über die Verbindung zwischen den Grundgruppen einiger verwandter Räume. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), S. 261–267.
• Brown, R., Higgins, P. J, Über die Verbindung zwischen den zweiten relativen Homotopiegruppen einiger verwandter Räume , Proc. London Math. Soz. (3) 36 (1978) 193-212.
• Brown, R., Higgins, PJ und Sivera, R.. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Nonabelian Algebraic Topology: gefilterte Räume, gekreuzte Komplexe, kubische Homotopie-Gruppoide ; (Der erste von drei Teilen diskutiert die Anwendungen der 1- und 2-dimensionalen Versionen des Seifert-van-Kampen-Theorems. Letzterer erlaubt Berechnungen von nichtabelschen zweiten relativen Homotopiegruppen und tatsächlich von Homotopie-2-Typen. Der zweite Teil gilt a Höherer Homotopiesatz von van Kampen für gekreuzte Komplexe, bewiesen in Teil III.)
• "Ergebnis des Satzes von Van Kampen" . PlanetMath .
• R. Brown, H. Kamps, T. Porter : A homotopy double groupoid of a Hausdorff space II: a Van Kampen theorem', Theory and Applications of Categories, 14 (2005) 200–220.
• Dylan GL Allegretti, Simplicial Sets and Van Kampen's Theorem (Diskutiert verallgemeinerte Versionen des Van Kampens Theorems angewendet auf topologische Räume und simpliziale Sets).
• R. Brown und J.-L. Loday, "Van Kampen theorems for diagrams of space", Topology 26 (1987) 311–334.

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Externe Links

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