Faser - Fibration

In Topologie , ein Zweig der Mathematik, eine Faserung ist eine Verallgemeinerung des Begriffs eines Faserbündels . Ein Faserbündel konkretisiert die Vorstellung, dass ein topologischer Raum (als Faser bezeichnet) durch einen anderen topologischen Raum (als Basis bezeichnet) "parametrisiert" wird. Eine Fibration ist wie ein Faserbündel, nur dass die Fasern nicht den gleichen Raum haben müssen, noch nicht einmal homöomorph ; vielmehr sind sie nur Homotopie-Äquivalent . Schwache Fasern verwerfen sogar diese Äquivalenz für eine eher technische Eigenschaft.

Fasern haben nicht unbedingt die lokale kartesische Produktstruktur , die den Fall der stärker eingeschränkten Faserbündel definiert, sondern etwas schwächeres, das immer noch eine "seitliche" Bewegung von Faser zu Faser erlaubt. Faserbündel haben eine besonders einfache Homotopietheorie, die es erlaubt, topologische Informationen über das Bündel aus Informationen über einen oder beide dieser konstituierenden Räume abzuleiten. Eine Fibration erfüllt eine zusätzliche Bedingung (die Homotopie-Lift-Eigenschaft ), die garantiert, dass sie sich aus Sicht der Homotopietheorie wie ein Faserbündel verhält.

Fibrationen sind dual zu Cofibrationen , mit einer entsprechend dualen Vorstellung von der Homotopie-Erweiterungseigenschaft ; dies ist lose als Eckmann-Hilton-Dualität bekannt .

Formale Definition

Eine Fibration (oder Hurewicz-Fibration oder Hurewicz-Faserraum , so benannt nach Witold Hurewicz ) ist eine kontinuierliche Abbildung, die die Homotopiehebeeigenschaft in Bezug auf jeden Raum erfüllt . Faserbündel (über parakompakten Untergründen) sind wichtige Beispiele. In der Homotopietheorie ist jede Abbildung „so gut wie“ eine Faserbildung – dh jede Abbildung kann als Homotopieäquivalenz in einen „ Abbildungspfadraum “ gefolgt von einer Faserbildung faktorisiert werden . $p\colon E\to B$

Die Fasern sind per Definition die Unterräume von $E$ , die die inversen Bilder der Punkte $b$ von $B sind$ . Wenn der Basisraum $B$ ist Pfad verbunden ist , ist es eine Folge der Definition , daß die Fasern von zwei verschiedenen Punkten und in $B$ sind homotopieäquivalent . Daher spricht man meist von "der Faser" $F$ . $b_{1}$ $b_{2}$

Serre-Fibrationen

Eine kontinuierliche Abbildung mit der Homotopie-Lifting-Eigenschaft für CW-Komplexe (oder äquivalent nur Würfel ) wird Serre-Fibration oder schwache Fibration genannt , zu Ehren der Rolle, die das Konzept in der These von Jean-Pierre Serre spielt . Diese Dissertation etablierte in der algebraischen Topologie die Verwendung von Spektralsequenzen und trennte klar die Begriffe der Faserbündel und Fasern vom Begriff der Garbe (beide Konzepte zusammen waren in der bahnbrechenden Behandlung von Jean Leray implizit enthalten ). Da eine Garbe (als étalé-Raum gedacht ) als lokaler Homöomorphismus angesehen werden kann , waren die Begriffe damals eng miteinander verknüpft. Bei einer Serre-Fibration wirkt sich im Allgemeinen die Fundamentalgruppe der Base $B$ auf die Kohomologie der Faser $F aus$ . In Fällen, in denen diese Aktion trivial ist, bietet die Serre-Spektralsequenz ein Verfahren zum Berechnen der Kohomologie des Gesamtraums $E$ hinsichtlich der Kohomologien der Basis und der Faser. Wenn diese Aktion nicht trivial ist, gibt es eine ähnliche Spektralsequenz, die stattdessen Koeffizienten in einem lokalen System verwendet . $I^{n}$

Beachten Sie, dass Serre-Fibrationen grundsätzlich schwächer sind als Fibrationen im Allgemeinen: Die Homotopie-Lifting-Eigenschaft muss nur für Würfel (oder CW-Komplexe) gelten und nicht für alle Räume im Allgemeinen. Infolgedessen sind die Fasern möglicherweise nicht einmal homotopieäquivalent, wofür unten ein explizites Beispiel gegeben wird.

Beispiele

In den folgenden Beispielen wird eine Fibration bezeichnet

F \to E \to B

,

wobei die erste Abbildung die Aufnahme "der" Faser $F$ in den Gesamtraum $E$ und die zweite Abbildung die Faserbildung auf der Basis $B ist$ . Dies wird auch als Fibrationssequenz bezeichnet.

Die Projektionskarte eines Produktraums ist sehr leicht als Fibration zu sehen.
Faserbündel haben lokale Trivialisierungen, dh kartesische Produktstrukturen existieren lokal auf $B$ , und dies reicht normalerweise aus, um zu zeigen, dass ein Faserbündel eine Faser ist. Genauer gesagt, wenn es lokale Trivialisierungen über einer zahllosen offenen Hülle von $B gibt$ , ist das Bündel eine Faserung. Jede offene Abdeckung eines parakompakten Raums hat eine zahllose Verfeinerung. Zum Beispiel hat jede offene Abdeckung eines metrischen Raums eine lokal endliche Verfeinerung , so dass jedes Bündel über einem solchen Raum eine Faserung ist. Die lokale Geringfügigkeit impliziert auch das Vorhandensein einer gut definierten Faser ( bis homeomorphism ) zumindest an jeder verbundenen Komponente von $B$ .
Die Hopf-Fibration $S 1 \to S 3 \to S 2$ war historisch gesehen eines der frühesten nicht-trivialen Beispiele für eine Fibration.
Hopf-Fibrationen verallgemeinern sich zu Fibrationen über einen komplexen projektiven Raum mit einer Fibration $S 1 \to S 2 n +1 \to CP n$ . Das obige Beispiel ist ein Sonderfall für n=1, da CP ¹ zu $S$ $2$ homöomorph ist .
Hopf-Fibrationen verallgemeinern sich zu Fibrationen über dem quaternionischen projektiven Raum mit einer Fibration $Sp 1 \to S 4 n +3 \to HP n$ . Die Faser ist hier die Gruppe der Einheitsquaternionen Sp ¹ .
Die Serre-Fibration $SO(2) \to SO(3) \to S 2$ kommt von der Einwirkung der Rotationsgruppe $SO(3)$ auf die 2-Sphäre $S 2$ . Beachten Sie, dass $SO(3)$ homöomorph zum reellen projektiven Raum $R P 3 ist$ , und somit ist $S 3$ eine Doppelüberdeckung von $SO(3)$ und somit ist die Hopf-Fibration die universelle Überdeckung.
Das vorherige Beispiel kann auch auf eine Faserung $SO(n) \to SO(n +1) \to S n$ für jede nicht negative ganze Zahl $n$ verallgemeinert werden (obwohl sie nur eine Faser haben, die nicht nur ein Punkt ist, wenn $n > 1$ ) das kommt von der Wirkung der speziellen orthogonalen Gruppe $SO(n +1)$ auf die $n$ -Sphäre.

Eine Karte in eine Fibration verwandeln

Jede kontinuierliche Abbildung kann als eine Zusammensetzung faktorisiert werden, wobei eine Fibration und eine Homotopie-Äquivalenz ist . Bezeichnet man als Abbildungsraum (der unter Verwendung von Kompakt-Offen-Topologie ) wird die Faserung Raum aufgebaut ist, wie $f:X\to Y$ $X\hookrightarrow E_{f}\twoheadrightarrow Y$ $E_{f}\twoheadrightarrow Y$ $X\hookrightarrow E_{f}$ $Y^{I}={\text{Map}}(I,Y)$

E_{f}=\{(x,\gamma)\in X\times Y^{I}:\gamma (0)=f(x)\}

Karte mit Struktur zu senden .

p:E_{f}\to Y

(x,\gamma)\longmapsto\gamma (1)

Die Überprüfung der Homotopie-Lifting-Eigenschaft bestätigt, dass diese Karte tatsächlich eine Faserbildung bildet.

Die Injektions Karte ist gegeben durch wo der konstanten Weg. $i:X\hookrightarrow E_{f}$ $x\longmapsto (x,\gamma_{f(x)})$ $\gamma_{f(x)}$

Es kommt zu einem Deformationsrückzug der Homotopiefasern

E_{f}|_{y}=\{(x,\gamma)\in X\times Y^{I}:\gamma (0)=f(x){\text{ und }}\ Gamma (1)=y\}

zu dieser Inklusion, was eine Homotopie-Äquivalenz ergibt .

X\simeq E_{f}

Beispiel für schwache Fibration

Die vorherigen Beispiele haben alle Fasern, die homotopieäquivalent sind. Dies muss für Fibrationen im Allgemeinen der Fall sein, aber nicht unbedingt für schwache Fibrationen. Der Begriff einer schwachen Fibration ist streng genommen schwächer als eine Fibration, wie das folgende Beispiel zeigt: Die Fasern haben möglicherweise nicht einmal den gleichen Homotopietyp .

Betrachten Sie die Teilmenge der reellen Ebene gegeben durch $\mathbb{R} ^{2}$

E=\{(x,y):x=y,x\in I\}\cup \bigcup_{n\in\mathbb{N}\atop n>0}\{(x,y) :x\in I,y=1+1/n\}

und der durch das Einheitsintervall gegebene Grundraum der Projektion von Man kann leicht erkennen, dass dies eine Serre-Faser ist. Die Faser und die Faser sind jedoch nicht homotopieäquivalent. Der Raum hat eine offensichtliche Injektion in den Gesamtraum und eine offensichtliche Homotopie (die konstante Funktion) im Basisraum ; er kann jedoch nicht angehoben werden, und daher kann das Beispiel keine Fibration im Allgemeinen sein.

B=I=\{x:0\leq x\leq 1\},

p(x,y)=x.

p^{-1}(0)

p^{-1}(1)

p^{-1}(1)\times I

E

B

Lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

Wählen Sie eine Fußpunkt Let $F$ auf die Faser über beziehen das heißt, $F$ $=$ $p$ $-1$ $({$ $b$ $0$ $})$ ; und sei die Inklusion Wähle einen Basispunkt und sei $e$ $0$ $=$ $i$ $($ $f$ $0$ $)$ . In Bezug auf diese Basispunkte kann die Puppensequenz verwendet werden, um zu zeigen, dass es eine lange exakte Sequenz gibt $b_{0}\in B.$ $b_{0},$ $i$ $F\to E.$ $f_{0}\in F$

\cdots\to\pi_{n}(F)\to\pi_{n}(E)\to\pi_{n}(B)\to\pi_{n-1}(F )\nach \cdots \nach \pi_{0}(F)\nach \pi_{0}(E).

Es ist aus den Homotopiegruppen der Faser

F

, Gesamtraum

E

und Basisraum

B aufgebaut

. Die homomorphisms

π n (F) \to π n (E)

und

π n (E) \to π n (B)

ist nur die induzierte homomorphisms von

i

und

p

ist. Die Abbildungen mit ₀ sind keine Gruppenhomomorphismen, weil die π ₀ keine Gruppen sind, aber sie sind exakt in dem Sinne, dass das Bild gleich dem Kernel ist (hier ist das "neutrale Element" die verbundene Komponente, die den Basispunkt enthält).

Diese Reihenfolge gilt für beide Fibrationen und für schwache Fibrationen, obwohl der Beweis der beiden Fälle etwas unterschiedlich ist.

Beweis

Eine Möglichkeit zu zeigen, dass die obige Sequenz wohldefiniert und genau ist, ohne den Kontakt mit der Puppe-Sequenz zu vermeiden, besteht darin, direkt wie folgt vorzugehen. Der dritte Satz von Homomorphismen $β n : π n (B) \to π n -1 (F)$ (genannt die "verbindenden Homomorphismen" (in Bezug auf das Schlangenlemma ) oder die "Grenzkarten") ist keine induzierte Karte und ist direkt in den entsprechenden Homotopiegruppen mit den folgenden Schritten definiert.

Zunächst eine kleine Terminologie: Sei $δ n : S n \to D n +1$ die Einbeziehung der Rand- $n-$ Kugel in die $(n +1)$ -Kugel . Sei $γ n : D n \to S n$ die Abbildung, die das Bild von $δ n -1$ in $D n$ auf einen Punkt kollabiert .
Lassen $φ : S n \to B$ a darstellt Karte für ein Element sein , $π n (B)$ .
Da $D n$ homeomorphic ist zum $n$ -dimensionalen Würfels, können wir die homotopy Hebestücke gelten einen Aufzug zu konstruieren $λ : D n \to E$ von $& phiv; \circ & ggr; n$ (dh eine Karte $λ$ derart , daß $p \circ λ = & phiv; \circ & ggr; n$ ) mit Anfangsbedingung $f$ $0$ .
Da $γ n \circ δ n -1$ eine $Punktabbildung$ ist (im Folgenden als „ $pt$ “ bezeichnet), gilt $pt = φ \circ γ n \circ δ n -1 = p \circ λ \circ δ n -1$ , was impliziert, dass das Bild von $λ \circ δ n -1$ ist in $F$ . Daher gibt es eine Karte $ψ : S n -1 \to F$ , so dass $i \circ ψ = & lgr; \circ & dgr; n -1$ .
Wir definieren $β n [φ] = [ψ]$ .

Das Obige ist in dem folgenden kommutativen Diagramm zusammengefasst :

Die wiederholte Anwendung der Homotopie-Lifting-Eigenschaft wird verwendet, um zu beweisen, dass $β n$ wohldefiniert ist (nicht von einem bestimmten Lift abhängt), nur von der Homotopieklasse seines Arguments abhängt, dass es ein Homomorphismus ist und dass die lange Sequenz exakt ist.

Alternativ kann man relative Homotopiegruppen verwenden, um die lange exakte Sequenz der Homotopie einer Fibration aus der langen exakten Sequenz der relativen Homotopie des Paares zu erhalten . Man verwendet, dass die n-te Homotopiegruppe von relativ zu isomorph zur n-ten Homotopiegruppe der Base $F\subseteq E$ $E$ $F$ $B.$

Beispiel

Man kann auch in umgekehrter Richtung vorgehen. Wenn die Fibration die Mapping-Faser ist (dual zum Mapping-Kegel , eine Kofibration ), dann erhält man die genaue Puppe-Sequenz . Im Wesentlichen folgt die lange exakte Abfolge von Homotopiegruppen aus der Tatsache, dass die Homotopiegruppen als Suspensionen oder duale Schleifenräume erhalten werden können .

Euler-Charakteristik

Die Euler-Kennlinie $χ$ ist für Fibrationen mit bestimmten Bedingungen multiplikativ .

Ist eine Faserung mit Faser $F$ , mit der Basis $B$ bahnverbunden und die Faserung ist über einem Körper $K orientierbar$ , dann erfüllt die Euler-Charakteristik mit Koeffizienten im Körper $K$ die Produkteigenschaft: $p:E\to B$

χ (E) = χ (F) \cdot χ (B)

.

Dies schließt Produkträume und Deckräume als Sonderfälle ein und kann durch die Serre-Spektralsequenz zur Homologie einer Fibration nachgewiesen werden.

Für Faserbündel kann dies auch im Sinne einer Transferkarte verstanden werden – man beachte, dass dies ein Lifting ist und "in den falschen Weg" geht – deren Zusammensetzung mit der Projektionskarte $p$ $*$ $:$ $H$ $*$ $($ $E$ $) \to$ $H$ $*$ $($ $B$ $)$ ist Multiplikation mit der Euler-Charakteristik der Faser: $p$ $*$ $\circ$ $τ$ $=$ $χ$ $($ $F$ $) \cdot 1$ . $\tau :H_{*}(B)\to H_{*}(E)$

Fasern in geschlossenen Modellkategorien

Fibrationen topologischer Räume passen in einen allgemeineren Rahmen, die sogenannten geschlossenen Modellkategorien , die sich aus dem azyklischen Modellsatz ergeben. In solchen Kategorien gibt es unterschiedene Klassen von Morphismen, den sogenannten Fibrationen , Kofibrationen und schwachen Äquivalenzen . Bestimmte Axiome , wie Stabilität von Fibrationen unter Zusammensetzung und Pullbacks , Faktorisierung jedes Morphismus in die Zusammensetzung einer azyklischen Kofaserung gefolgt von einer Faserbildung oder einer Kofaserung gefolgt von einer azyklischen Faserbildung, wobei das Wort "azyklisch" anzeigt, dass der entsprechende Pfeil auch ist eine schwache Äquivalenz, und andere Anforderungen werden aufgestellt, um die abstrakte Behandlung der Homotopietheorie zu ermöglichen. (In der ursprünglichen Behandlung wurde aufgrund von Daniel Quillen das Wort "trivial" anstelle von "azyklisch" verwendet.)

Es kann gezeigt werden, dass die Kategorie der topologischen Räume tatsächlich eine Modellkategorie ist, wobei (abstrakte) Fibrationen nur die oben eingeführten Serre-Fibrationen sind und schwache Äquivalenzen schwache Homotopie-Äquivalenzen sind .

Siehe auch

Kofibration
Homotopie colimit
Homotopie-Faser
Quasi-Fibration – Konzept aus der Mathematik
Hopf-Fibration – Faserbündel der 3-Sphäre über der 2-Sphäre, mit 1-Sphären als Fasern
Faserwechsel
G-Faser

Verweise

Steenrod, Norman (5. April 1999). Die Topologie von Faserbündeln . Princeton Mathematische Reihe. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875 .CS1-Wartung: Datum und Jahr ( Link )

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