Geschichte der Algebra - History of algebra

Algebra kann im Wesentlichen als Berechnungen angesehen werden, die denen der Arithmetik ähnlich sind, jedoch mit nicht-numerischen mathematischen Objekten. Bis ins 19. Jahrhundert bestand die Algebra jedoch im Wesentlichen aus der Gleichungstheorie . Zum Beispiel gehört der Fundamentalsatz der Algebra zur Gleichungstheorie und wird heute nicht mehr zur Algebra gezählt (tatsächlich muss jeder Beweis die Vollständigkeit der reellen Zahlen verwenden , was keine algebraische Eigenschaft ist).

Dieser Artikel beschreibt die Geschichte der Gleichungstheorie, hier "Algebra" genannt, von den Anfängen bis zur Entstehung der Algebra als eigenständiges Gebiet der Mathematik .

Etymologie

Das Wort "Algebra" leitet sich vom arabischen Wort الجبر al-jabr ab und stammt aus der Abhandlung des mittelalterlichen persischen Mathematikers Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī aus dem Jahr 830 , dessen arabischer Titel Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb . ist al-ğabr wa-l-muqābala , kann übersetzt werden als Das Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing . Die Abhandlung sah die systematische Lösung linearer und quadratischer Gleichungen vor . Einer Geschichte zufolge „ist nicht sicher, was die Begriffe al-jabr und muqabalah bedeuten, aber die übliche Interpretation ähnelt der in der vorherigen Übersetzung angedeuteten. Das Wort ‚al-jabr‘ bedeutete vermutlich so etwas wie ‚ Wiederherstellung“ oder „Vervollständigung“ und scheint sich auf die Übertragung von subtrahierten Begriffen auf die andere Seite einer Gleichung zu beziehen; das Wort „muqabalah“ soll sich auf „Reduzierung“ oder „Ausgleichen“ beziehen – d. h. auf die Aufhebung ähnlicher Begriffe auf entgegengesetzten Seiten der Gleichung. Der arabische Einfluss in Spanien lange nach der Zeit von al-Khwarizmi findet sich in Don Quijote , wo das Wort 'algebrista' für einen Knochensetzer, dh einen 'Restaurator' verwendet wird." Der Begriff wird von al-Khwarizmi verwendet, um die von ihm eingeführten Operationen „ Reduktion “ und „Ausgleichen“ zu beschreiben, die sich auf die Transposition subtrahierter Terme auf die andere Seite einer Gleichung beziehen, d. h. die Aufhebung gleicher Terme auf gegenüberliegenden Seiten der Gleichung.

Stufen der Algebra

Algebraischer Ausdruck

Die Algebra hat nicht immer die Symbolik verwendet, die heute in der Mathematik allgegenwärtig ist; Stattdessen durchlief es drei verschiedene Phasen. Die Entwicklungsstadien der symbolischen Algebra sind ungefähr wie folgt:

• Rhetorische Algebra , in der Gleichungen in ganzen Sätzen geschrieben werden. Zum Beispiel ist die rhetorische Form von "Das Ding plus eins gleich zwei" oder möglicherweise "Das Ding plus 1 ist gleich 2". Die rhetorische Algebra wurde zuerst von den alten Babyloniern entwickelt und blieb bis ins 16. Jahrhundert vorherrschend.${\displaystyle x+1=2}$

• Synkopierte Algebra , in der eine gewisse Symbolik verwendet wird, die jedoch nicht alle Merkmale der symbolischen Algebra enthält. Zum Beispiel kann es eine Einschränkung geben, dass die Subtraktion nur einmal innerhalb einer Seite einer Gleichung verwendet werden darf, was bei der symbolischen Algebra nicht der Fall ist. Synkopierte algebraischen Ausdruck erschien zuerst in Diophantus ' Arithmetica (3. Jahrhundert), gefolgt von Brahmagupta ' s Brahma Sphuta Siddhanta (7. Jahrhundert).

• Symbolische Algebra , in der die volle Symbolik verwendet wird. Erste Schritte dazu sind in der Arbeit mehrerer islamischer Mathematiker wie Ibn al-Banna (13.-14. Jahrhundert) und al-Qalasadi (15. Jahrhundert) zu sehen, obwohl die vollständig symbolische Algebra von François Viète (16. Jahrhundert) entwickelt wurde. Später führte René Descartes (17. Jahrhundert) die moderne Notation ein (zum Beispiel die Verwendung von x – siehe unten ) und zeigte, dass die in der Geometrie auftretenden Probleme algebraisch ( kartesische Geometrie ) ausgedrückt und gelöst werden können .

Ebenso wichtig wie die Verwendung oder das Fehlen von Symbolik in der Algebra war der Grad der behandelten Gleichungen. Quadratische Gleichungen spielten in der frühen Algebra eine wichtige Rolle; und während des größten Teils der Geschichte, bis in die frühe Neuzeit, wurden alle quadratischen Gleichungen in eine von drei Kategorien eingeordnet.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

wo und sind positiv. Diese Trichotomie kommt zustande, weil quadratische Gleichungen der Form mit und positiv keine positiven Wurzeln haben . ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Zwischen den rhetorischen und synkopierten Stadien der symbolischen Algebra wurde von klassischen griechischen und vedisch-indischen Mathematikern eine geometrisch-konstruktive Algebra entwickelt, in der algebraische Gleichungen durch Geometrie gelöst wurden. Zum Beispiel wurde eine Gleichung der Form gelöst, indem man die Seite eines Quadrats der Fläche${\displaystyle x^{2}=A}$${\displaystyle A.}$

Konzeptionelle Phasen

Zusätzlich zu den drei Stadien des Ausdrucks algebraischer Ideen erkannten einige Autoren vier konzeptionelle Stadien in der Entwicklung der Algebra, die parallel zu den Veränderungen im Ausdruck auftraten. Diese vier Phasen waren wie folgt:

• Geometrisches Stadium , in dem die Konzepte der Algebra weitgehend geometrisch sind. Dies geht auf die Babylonier zurück und wurde bei den Griechen fortgesetzt und später von Omar Khayyám wiederbelebt .
• Statische Gleichungslösungsphase , in der das Ziel darin besteht, Zahlen zu finden, die bestimmte Beziehungen erfüllen. Die Abkehr von der geometrischen Algebra geht auf Diophantus und Brahmagupta zurück , aber die Algebra bewegte sich nicht entscheidend zur statischen Gleichungslösungsstufe, bis Al-Khwarizmi verallgemeinerte algorithmische Prozesse zur Lösung algebraischer Probleme einführte.
• Dynamische Funktionsbühne , bei der Bewegung eine zugrunde liegende Idee ist. Die Idee einer Funktion begann mit Sharaf al-Dīn al-Tūsī , aber erst bei Gottfried Leibniz gelangte die Algebra entscheidend zur dynamischen Funktionsstufe .
• Abstraktes Stadium , in dem die mathematische Struktur eine zentrale Rolle spielt. Abstrakte Algebra ist weitgehend ein Produkt des 19. und 20. Jahrhunderts.

Babylon

Die Ursprünge der Algebra können auf die alten Babylonier zurückgeführt werden , die ein Positionszahlensystem entwickelten , das ihnen bei der Lösung ihrer rhetorischen algebraischen Gleichungen sehr half. Die Babylonier waren nicht an exakten Lösungen interessiert, sondern an Annäherungen, und so verwendeten sie gewöhnlich lineare Interpolation, um Zwischenwerte anzunähern. Einer der bekanntesten Tabletten ist die Plimpton 322 Tablette , geschaffen um 1900 bis 1600 vor Christus, die eine Tabelle gibt Pythagoreische verdreifacht und stellt einige der fortschrittlichsten Mathematik vor der griechischen Mathematik.

Die babylonische Algebra war viel weiter fortgeschritten als die damalige ägyptische Algebra; während sich die Ägypter hauptsächlich mit linearen Gleichungen beschäftigten, beschäftigten sich die Babylonier mehr mit quadratischen und kubischen Gleichungen . Die Babylonier hatten flexible algebraische Operationen entwickelt, mit denen sie Gleiches zu Gleichen addieren und beide Seiten einer Gleichung mit gleichen Größen multiplizieren konnten , um Brüche und Faktoren zu eliminieren . Sie waren mit vielen einfachen Formen der Faktorisierung , dreigliedrigen quadratischen Gleichungen mit positiven Wurzeln und vielen kubischen Gleichungen vertraut , obwohl nicht bekannt ist, ob sie die allgemeine kubische Gleichung reduzieren konnten.

Antikes Ägypten

Die altägyptische Algebra beschäftigte sich hauptsächlich mit linearen Gleichungen, während die Babylonier diese Gleichungen zu elementar fanden und die Mathematik auf ein höheres Niveau als die Ägypter entwickelten.

Der Rhind Papyrus, auch bekannt als Ahmes Papyrus, ist ein altägyptischer Papyrus, der c geschrieben wurde. 1650 v. Chr. von Ahmes, der es aus einem früheren Werk abschrieb, das er zwischen 2000 und 1800 v. Chr. datierte. Es ist das umfangreichste altägyptische mathematische Dokument, das Historikern bekannt ist. Der Rhind Papyrus enthält Probleme, bei denen lineare Gleichungen der Form und gelöst werden, wo und bekannt sind und die als "Aha" oder Haufen bezeichnet werden, ist das Unbekannte. Die Lösungen wurden möglicherweise, aber nicht wahrscheinlich, mit der "Methode der falschen Position" oder regula falsi gefunden , bei der zuerst ein bestimmter Wert in die linke Seite der Gleichung eingesetzt wird, dann die erforderlichen arithmetischen Berechnungen durchgeführt werden, drittens das Ergebnis wird mit der rechten Seite der Gleichung verglichen, und schließlich wird die richtige Antwort durch die Verwendung von Proportionen gefunden. Bei einigen Aufgaben "überprüft" der Autor seine Lösung und schreibt damit einen der frühesten bekannten einfachen Beweise. ${\displaystyle x+ax=b}$${\displaystyle x+ax+bx=c}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x,}$

Griechische Mathematik

Es wird manchmal behauptet, dass die Griechen keine Algebra hatten, aber das ist ungenau. Zur Zeit Platons hatte die griechische Mathematik einen drastischen Wandel durchgemacht. Die Griechen schufen eine geometrische Algebra, in der Terme durch Seiten von geometrischen Objekten dargestellt wurden, normalerweise Linien, denen Buchstaben zugeordnet waren, und mit dieser neuen Form der Algebra waren sie in der Lage, Lösungen für Gleichungen zu finden, indem sie einen von ihnen erfundenen, bekannten Prozess verwendeten als "Anwendung von Bereichen". „Die Anwendung von Bereichen“ ist nur ein Teil der geometrischen Algebra und es wird gründlich abgedeckt Euklid ‚s Elemente .

Ein Beispiel für geometrische Algebra würde die lineare Gleichung zu lösen sein die alten Griechen diese Gleichung auf mich als Gleichheit von Gebieten , die von der Suche lösen würde und nicht als eine Gleichheit zwischen den Verhältnissen und die Griechen würden ein Rechteck mit den Seitenlängen konstruieren und dann ein verlängern Seite des Rechtecks ​​auf Länge und schließlich würden sie das erweiterte Rechteck vervollständigen, um die Seite des Rechtecks ​​zu finden, die die Lösung ist. ${\displaystyle ax=bc.}$${\displaystyle a:b}$${\displaystyle c:x.}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle a,}$

Blüte von Thymaridas

Iamblichus in Introductio Arithmatica sagt , dass Thymaridas (c 400 BCE -.. C 350 BCE) mit simultanen linearen Gleichungen gearbeitet. Insbesondere schuf er die damals berühmte Regel, die als "Blüte von Thymaridas" oder als "Blume von Thymaridas" bekannt war, die besagt:

Ist die Summe der Mengen und auch die Summe jedes Paares, das eine bestimmte Menge enthält, gegeben, so ist diese bestimmte Menge gleich der Differenz zwischen den Summen dieser Paare und der ersten gegebenen Summe.${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/(n-2)}$

oder in moderner Notation die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems in Unbekannten, ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$
${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$
${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$
${\displaystyle\vdots}$
${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

ist,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{ i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Jamblichus beschreibt weiter, wie einige lineare Gleichungssysteme, die nicht in dieser Form vorliegen, in diese Form gebracht werden können.

Euklid von Alexandria

Euklid ( griechisch : Εὐκλείδης ) war ein griechischer Mathematiker, der in Alexandria , Ägypten , mit ziemlicher Sicherheit während der Herrschaft von Ptolemaios I. (323–283 v. Chr.) blühte . Weder sein Geburtsjahr noch sein Geburtsort noch die Umstände seines Todes stehen fest.

Euklid gilt als „Vater der Geometrie “. Seine Elemente sind das erfolgreichste Lehrbuch in der Geschichte der Mathematik . Obwohl er einer der berühmtesten Mathematiker der Geschichte ist, werden ihm keine neuen Entdeckungen zugeschrieben; vielmehr ist er für seine großen Erklärungskünste in Erinnerung geblieben. Die Elemente sind nicht, wie manchmal angenommen wird, eine Sammlung des gesamten griechischen mathematischen Wissens bis heute; es ist vielmehr eine elementare Einführung.

Elemente

Die geometrische Arbeit der Griechen, die in Euklids Elements typisch ist , lieferte den Rahmen für die Verallgemeinerung von Formeln über die Lösung bestimmter Probleme hinaus in allgemeinere Systeme zum Aufstellen und Lösen von Gleichungen.

Buch II der Elemente enthält vierzehn Sätze, die zur Zeit Euklids für die geometrische Algebra von großer Bedeutung waren. Diese Aussagen und ihre Ergebnisse sind die geometrischen Äquivalente unserer modernen symbolischen Algebra und Trigonometrie. Heute lassen wir unter Verwendung moderner symbolischer Algebra Symbole bekannte und unbekannte Größen (dh Zahlen) darstellen und wenden dann algebraische Operationen darauf an, während zu Euklids Zeiten Größen als Liniensegmente betrachtet und dann Ergebnisse mit den Axiomen oder Theoremen der Geometrie abgeleitet wurden.

Viele Grundgesetze der Addition und Multiplikation sind in den Elementen enthalten oder geometrisch bewiesen . Zum Beispiel heißt es in Satz 1 von Buch II:

Wenn es zwei gerade Linien gibt und eine davon in eine beliebige Anzahl von Segmenten geschnitten wird, ist das von den beiden geraden Linien enthaltene Rechteck gleich den Rechtecken, die von der ungeschnittenen geraden Linie und jedem der Segmente enthalten sind.

Aber das ist nichts anderes als die geometrische Version des (linken) Distributivgesetzes , ; und in den Büchern V und VII der Elemente werden die kommutativen und assoziativen Gesetze für die Multiplikation demonstriert. ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$

Viele Grundgleichungen wurden auch geometrisch bewiesen. Zum Beispiel beweist Satz 5 in Buch II dies und Satz 4 in Buch II beweist dies${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab),}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Darüber hinaus gibt es für viele Gleichungen auch geometrische Lösungen. Zum Beispiel liefert Satz 6 von Buch II die Lösung der quadratischen Gleichung und Satz 11 von Buch II gibt eine Lösung für${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2},}$${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}.}$

Daten

Data ist ein Werk, das von Euklid für den Gebrauch in den Schulen von Alexandria geschrieben wurde und als Begleitband zu den ersten sechs Büchern der Elemente gedacht war. Das Buch enthält etwa fünfzehn Definitionen und fünfundneunzig Aussagen, von denen es etwa zwei Dutzend Aussagen gibt, die als algebraische Regeln oder Formeln dienen. Einige dieser Aussagen sind geometrische Äquivalente zu Lösungen quadratischer Gleichungen. Zum Beispiel Daten enthält die Lösungen der Gleichungenund der bekannten babylonischen Gleichung${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.}$

Kegelschnitte

Ein Kegelschnitt ist eine Kurve, die sich aus dem Schnittpunkt eines Kegels mit einer Ebene ergibt . Es gibt drei Haupttypen von Kegelschnitten: Ellipsen (einschließlich Kreisen ), Parabeln und Hyperbeln . Die Kegelschnitte sollen von Menaechmus (ca. 380 v .

Menaechmus wusste, dass in einer Parabel die Gleichung gilt, wobei eine Konstante namens Latus rectum ist , obwohl er sich der Tatsache nicht bewusst war, dass jede Gleichung in zwei Unbekannten eine Kurve bestimmt. Diese Eigenschaften leitete er offenbar auch von Kegelschnitten und anderen ab. Mit diesen Informationen war es nun möglich, eine Lösung für das Problem der Verdopplung des Würfels zu finden, indem man nach den Schnittpunkten zweier Parabeln auflöst, eine Lösung, die der Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. ${\displaystyle y^{2}=lx}$${\displaystyle l}$

Eutozius informiert uns, dass die Methode, mit der er die kubische Gleichung löste , von Dionysodorus (250 v. Chr. – 190 v. Chr.) stammte . Dionysodor löste das Kubische durch den Schnittpunkt einer rechteckigen Hyperbel und einer Parabel. Dies hing mit einem Problem in Archimedes ' On the Sphere and Cylinder zusammen . Kegelschnitte wurden seit Tausenden von Jahren von griechischen und später islamischen und europäischen Mathematikern studiert und verwendet. Insbesondere Apollonius von Perga 's berühmte Kegelschnitte beschäftigt sich unter anderem mit Kegelschnitten.

China

Chinesische Mathematik geht auf mindestens 300 v. Chr. mit dem Zhoubi Suanjing zurück , das allgemein als eines der ältesten chinesischen mathematischen Dokumente gilt.

Neun Kapitel über die mathematische Kunst

Chiu-chang suan-shu oder Die neun Kapitel über die mathematische Kunst , geschrieben um 250 v. Chr., ist eines der einflussreichsten aller chinesischen Mathematikbücher und besteht aus etwa 246 Problemen. Kapitel acht befasst sich mit der Lösung bestimmter und unbestimmter simultaner linearer Gleichungen unter Verwendung positiver und negativer Zahlen, wobei ein Problem die Lösung von vier Gleichungen in fünf Unbekannten behandelt.

Seespiegel der Kreismessungen

Ts'e-yuan hai-ching oder Sea-Mirror of the Circle Measurements ist eine Sammlung von etwa 170 Problemen, die von Li Zhi (oder Li Ye) (1192 – 1279 n. Chr.) geschrieben wurden. Er benutzte fan fa oder Horners Methode , um Gleichungen mit einem Grad von bis zu sechs zu lösen, obwohl er seine Methode zum Lösen von Gleichungen nicht beschrieb.

Mathematische Abhandlung in neun Abschnitten

Shu-shu chiu-chang , oder Mathematische Abhandlung in neun Abschnitten , wurde vom wohlhabenden Gouverneur und Minister Ch'in Chiu-shao (ca. 1202 – ca. 1261) verfasst und mit der Erfindung einer Methode zur Lösung simultaner Kongruenzen heute genannt chinesischen Restsatz , es markiert den Höhepunkt in der chinesischen unbestimmter Analyse.

Magische Quadrate

Die frühesten bekannten magischen Quadrate erschienen in China. In neun Kapiteln löst der Autor ein System simultaner linearer Gleichungen, indem er die Koeffizienten und konstanten Terme der linearen Gleichungen in ein magisches Quadrat (dh eine Matrix) einfügt und an dem magischen Quadrat spaltenreduzierende Operationen durchführt. Die frühesten bekannten magischen Quadrate mit einer Ordnung von mehr als drei werden Yang Hui (fl. c. 1261 – 1275) zugeschrieben, der mit magischen Quadraten von bis zu zehn arbeitete.

Kostbarer Spiegel der vier Elemente

Ssy-yüan yü-chien《四元玉鑒》 oder Kostbarer Spiegel der vier Elemente wurde 1303 von Chu Shih-chieh geschrieben und markiert den Höhepunkt in der Entwicklung der chinesischen Algebra. Die vier Elemente , genannt Himmel, Erde, Mensch und Materie, repräsentierten die vier Unbekannten in seinen algebraischen Gleichungen. Das Ssy-yüan yü-chien befasst sich mit simultanen Gleichungen und mit Gradgleichungen bis zu vierzehn. Der Autor verwendet die Methode von fan fa , heute Horner-Methode genannt , um diese Gleichungen zu lösen.

Der Kostbare Spiegel beginnt mit einem Diagramm des arithmetischen Dreiecks ( Pascal-Dreieck ) mit einem runden Nullsymbol, aber Chu Shih-chieh bestreitet dies. Ein ähnliches Dreieck taucht in Yang Huis Arbeit auf, jedoch ohne das Nullsymbol.

Es gibt viele Summengleichungen, die ohne Beweis im Kostbaren Spiegel angegeben sind . Einige der Summen sind:

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n +3)(4n+1) \über 5!}}$

Diophant

Diophantus war ein hellenistischer Mathematiker, der c lebte. 250 n. Chr., aber die Unsicherheit dieses Datums ist so groß, dass es um mehr als ein Jahrhundert abweichen kann. Er ist dafür bekannt, Arithmetica geschrieben zu haben , eine Abhandlung, die ursprünglich aus dreizehn Büchern bestand, von der jedoch nur die ersten sechs überliefert sind. Arithmetica hat mit der traditionellen griechischen Mathematik sehr wenig gemein, da sie von geometrischen Methoden getrennt ist, und unterscheidet sich von der babylonischen Mathematik darin, dass sich Diophant in erster Linie mit exakten Lösungen, sowohl mit bestimmten als auch mit unbestimmten, statt mit einfachen Näherungen beschäftigt.

Es ist normalerweise ziemlich schwierig zu sagen, ob eine gegebene diophantische Gleichung lösbar ist. Es gibt keine Hinweise, die darauf hindeuten, dass Diophantus überhaupt erkannt hat, dass es zwei Lösungen für eine quadratische Gleichung geben könnte. Er betrachtete auch simultane quadratische Gleichungen. Auch kann keine allgemeine Methode von allen Lösungen von Diophantus abstrahiert werden.

In Arithmetica verwendet Diophantus als erster Symbole für unbekannte Zahlen sowie Abkürzungen für Potenzen von Zahlen, Beziehungen und Operationen; daher verwendete er die heute als synkopierte Algebra bekannte. Der Hauptunterschied zwischen der diophantischen synkopierten Algebra und der modernen algebraischen Notation besteht darin, dass erstere spezielle Symbole für Operationen, Beziehungen und Exponentialfunktionen fehlten. Also zum Beispiel, was wir schreiben würden als

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

was umgeschrieben werden kann als

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^ {0}}5,}$

würde in der synkopierten Notation von Diophantus geschrieben werden als

${\displaystyle \mathrm {K}^{\upsilon }{\overline {\alpha}}\;\zeta {\overline {\iota}}\;\,\pitchfork \;\,\Upsilon ^{\upsilon} {\overline {\beta}}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha}}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma\;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon}}}$

wobei die Symbole Folgendes darstellen:

Symbol	Was es darstellt
${\displaystyle {\overline {\alpha}}}$	1
${\displaystyle {\overline {\beta}}}$	2
${\displaystyle {\overline {\varepsilon}}}$	5
${\displaystyle {\overline {\iota}}}$	10
ἴσ	"gleich" (kurz für ἴσος )
${\displaystyle \pitchfork}$	stellt die Subtraktion von allem dar, was auf ἴσ . folgt${\displaystyle \pitchfork}$
${\displaystyle \mathrm{M}}$	die nullte Potenz (dh ein konstanter Term)
${\displaystyle\zeta}$	die unbekannte Größe (weil eine in die erste Potenz erhobene Zahl genau das ist, kann man sich als "die erste Potenz" vorstellen) ${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$
${\displaystyle \Delta^{\upsilon}}$	die zweite Macht, aus dem Griechischen δύναμις , was Stärke oder Macht bedeutet
${\displaystyle\mathrm{K}^{\upsilon}}$	die dritte Potenz, aus dem Griechischen κύβος , was einen Würfel bedeutet
${\displaystyle \Delta^{\upsilon}\Delta}$	die vierte Macht
${\displaystyle \Delta\mathrm{K}^{\upsilon}}$	die fünfte Macht
${\displaystyle\mathrm{K}^{\upsilon}\mathrm{K}}$	die sechste Macht

Anders als in der modernen Notation kommen die Koeffizienten nach den Variablen und diese Addition wird durch das Nebeneinander von Termen dargestellt. Eine wörtliche Symbol-für-Symbol-Übersetzung der synkopierten Gleichung von Diophantus in eine moderne symbolische Gleichung wäre die folgende:

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

wo zu klären ist, wenn die modernen Klammern und das Plus verwendet werden, kann die obige Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^ {0}}5}$

Arithmetica ist eine Sammlung von etwa 150 gelösten Problemen mit bestimmten Zahlen und es gibt weder eine postulative Entwicklung noch wird eine allgemeine Methode explizit erklärt, obwohl die Allgemeinheit der Methode beabsichtigt sein mag und es nicht versucht wird, alle Lösungen der Gleichungen zu finden. Arithmetica enthält gelöste Probleme mit mehreren unbekannten Größen, die, wenn möglich, gelöst werden, indem die unbekannten Größen in Bezug auf nur eine von ihnen ausgedrückt werden. Arithmetica verwendet auch die Identitäten:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$

Indien

Die indischen Mathematiker beschäftigten sich aktiv mit Zahlensystemen. Die frühesten bekannten indischen mathematischen Dokumente werden um die Mitte des ersten Jahrtausends v. Chr. (um das 6. Jahrhundert v. Chr.) datiert.

Die wiederkehrenden Themen in der indischen Mathematik sind unter anderem bestimmte und unbestimmte lineare und quadratische Gleichungen, einfache Messung und pythagoräische Tripel.

Aryabhata

Aryabhata (476–550) war ein indischer Mathematiker, der Aryabhatiya verfasste . Darin gab er die Regeln,

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

und

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

Brahma Sphuta Siddhanta

Brahmagupta (fl. 628) war ein indischer Mathematiker, der Brahma Sphuta Siddhanta verfasste . In seiner Arbeit löst Brahmagupta die allgemeine quadratische Gleichung sowohl nach positiven als auch nach negativen Wurzeln. In der unbestimmten Analyse gibt Brahmagupta die pythagoräischen Triaden an, aber dies ist eine modifizierte Form einer alten babylonischen Regel, mit der Brahmagupta möglicherweise vertraut war. Er war der Erste , der eine allgemeine Lösung für die lineare Diophantische Gleichung geben , wo und sind ganze Zahlen . Im Gegensatz zu Diophantus, der nur eine Lösung einer unbestimmten Gleichung angab, gab Brahmagupta alle ganzzahligen Lösungen; aber dass Brahmagupta einige der gleichen Beispiele wie Diophantus verwendete, hat einige Historiker veranlasst, die Möglichkeit eines griechischen Einflusses auf Brahmaguptas Werk oder zumindest eine gemeinsame babylonische Quelle in Betracht zu ziehen. ${\displaystyle m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),}$${\displaystyle ax+by=c,}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$

Wie die Algebra von Diophantus wurde die Algebra von Brahmagupta synkopiert. Addition wurde angezeigt, indem die Zahlen nebeneinander platziert wurden, Subtraktion durch Platzieren eines Punkts über dem Subtrahend und Division durch Platzieren des Divisors unter dem Dividenden, ähnlich unserer modernen Notation, aber ohne den Balken. Multiplikation, Evolution und unbekannte Größen wurden durch Abkürzungen entsprechender Begriffe dargestellt. Das Ausmaß des griechischen Einflusses auf diese Synkope, falls vorhanden, ist nicht bekannt und es ist möglich, dass sowohl griechische als auch indische Synkopen aus einer gemeinsamen babylonischen Quelle stammen.

Bhāskara II

Bhāskara II. (1114 – ca. 1185) war der führende Mathematiker des 12. Jahrhunderts. In der Algebra gab er die allgemeine Lösung der Pellschen Gleichung an . Er ist Autor von Lilavati und Vija-Ganita , die Probleme mit bestimmten und unbestimmten linearen und quadratischen Gleichungen und pythagoräischen Tripeln enthalten, und er unterscheidet nicht zwischen exakten und angenäherten Aussagen. Viele der Probleme in Lilavati und Vija-Ganita stammen aus anderen hinduistischen Quellen, und so ist Bhaskara am besten im Umgang mit unbestimmten Analysen.

Bhaskara verwendet die Anfangssymbole der Namen für Farben als Symbole für unbekannte Variablen. Also zum Beispiel, was würden wir heute schreiben als

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

Bhaskara hätte geschrieben als

. _ .

ja 1 ru 1

.

ja 2 ru 8

.

Summe ya 1 ru 9

wobei ya die erste Silbe des Wortes für schwarz angibt und ru vom Wort Spezies abgeleitet ist . Die Punkte über den Zahlen zeigen die Subtraktion an.

Islamische Welt

Im ersten Jahrhundert des islamischen arabischen Reiches gab es fast keine wissenschaftlichen oder mathematischen Errungenschaften, da die Araber mit ihrem neu eroberten Reich noch keinen intellektuellen Antrieb erlangt hatten und die Forschung in anderen Teilen der Welt verblasst war. In der zweiten Hälfte des 8. Jahrhunderts erlebte der Islam einen kulturellen Aufbruch und die Forschung in Mathematik und Naturwissenschaften nahm zu. Der muslimische Abbasiden- Kalif al-Mamun (809–833) soll einen Traum gehabt haben, in dem ihm Aristoteles erschien, und als Konsequenz ordnete al-Mamun an, dass so viele griechische Werke wie möglich ins Arabische übersetzt werden, darunter Ptolemäus Almagest und Euklids Elemente . Griechische Werke würden den Muslimen vom Byzantinischen Reich im Austausch für Verträge gegeben, da die beiden Reiche einen unruhigen Frieden hielten. Viele dieser griechischen Werke wurden von Thabit ibn Qurra (826–901) übersetzt, der Bücher von Euklid, Archimedes, Apollonius, Ptolemäus und Eutozius übersetzte.

Arabische Mathematiker begründeten die Algebra als eigenständige Disziplin und gaben ihr den Namen „Algebra“ ( al-jabr ). Sie waren die ersten, die Algebra in elementarer Form und um ihrer selbst willen lehrten . Es gibt drei Theorien über die Ursprünge der arabischen Algebra. Der erste betont den hinduistischen Einfluss, der zweite betont den mesopotamischen oder persisch-syrischen Einfluss und der dritte betont den griechischen Einfluss. Viele Gelehrte glauben, dass es das Ergebnis einer Kombination aller drei Quellen ist.

Während ihrer gesamten Zeit an der Macht verwendeten die Araber eine vollständig rhetorische Algebra, bei der oft sogar die Zahlen in Worten buchstabiert wurden. Die Araber würden schließlich replace aus Zahlen (zB zweiundzwanzig) mit Dinkel arabischen Ziffern (zB 22), aber die Araber nicht einen synkopierten oder symbolischen Algebra , bis der Arbeit übernehmen oder entwickeln , Ibn al-Banna , der eine symbolische Algebra entwickelte in im 13. Jahrhundert, gefolgt von Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī im 15. Jahrhundert.

Al-jabr wa'l muqabalah

Der muslimische persische Mathematiker Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī war Fakultätsmitglied des „ Hauses der Weisheit “ ( Bait al-Hikma ) in Bagdad, das von Al-Mamun gegründet wurde. Al-Khwarizmi, der um 850 n. Chr. starb, schrieb mehr als ein halbes Dutzend mathematischer und astronomischer Werke, von denen einige auf dem indischen Sindhind basierten . Eines der berühmtesten Bücher von al-Khwarizmi trägt den Titel Al-jabr wa'l muqabalah oder The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , und es gibt einen erschöpfenden Bericht über das Lösen von Polynomen bis zum zweiten Grad . Das Buch führte auch das grundlegende Konzept der „ Reduktion “ und „Balance“ ein, das sich auf die Transposition subtrahierter Terme auf die andere Seite einer Gleichung bezieht, dh die Aufhebung gleicher Terme auf gegenüberliegenden Seiten der Gleichung. Dies ist die Operation, die Al-Khwarizmi ursprünglich als al-jabr bezeichnete . Der Name „Algebra“ leitet sich vom „ al-jabr “ im Titel seines Buches ab.

R. Rashed und Angela Armstrong schreiben:

„Al-Khwarizmi Text kann verschieden sein , nicht nur von den gesehen werden babylonischen Tabletten , sondern auch aus Diophantus ' Arithmetica . Es ist nicht mehr betrifft eine Reihe von Problemen gelöst werden, sondern eine Ausstellung , die beginnt mit primitiven Bedingungen , in denen die Kombinationen Muss geben alle möglichen Prototypen für Gleichungen an, die fortan explizit den eigentlichen Untersuchungsgegenstand darstellen. Andererseits erscheint die Idee einer Gleichung um ihrer selbst willen von vornherein und man könnte sagen generisch, insofern sie es tut nicht einfach bei der Lösung eines Problems auftaucht, sondern gezielt dazu aufgerufen ist, eine unendliche Klasse von Problemen zu definieren."

Al-Jabr ist in sechs Kapitel unterteilt, von denen sich jedes mit einer anderen Art von Formel beschäftigt. Das erste Kapitel von Al-Jabr beschäftigt sich mit Gleichungen, deren Quadrate gleich seinen Wurzeln sind das zweite Kapitel befasst sich mit Quadraten gleich der Zahl das dritte Kapitel befasst sich mit Wurzeln gleich einer Zahl das vierte Kapitel befasst sich mit Quadraten und Wurzeln gleich einer Zahl das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit Quadrate und Zahl gleich Wurzeln und das sechste und letzte Kapitel befasst sich mit Wurzeln und Zahl gleich Quadraten${\displaystyle \left(ax^{2}=bx\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}=c\right),}$${\displaystyle \left(bx=c\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}+bx=c\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}+c=bx\right),}$${\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right).}$

In Al-Jabr verwendet al-Khwarizmi geometrische Beweise, er erkennt die Wurzel nicht und beschäftigt sich nur mit positiven Wurzeln. Er erkennt auch an, dass die Diskriminante positiv sein muss und beschreibt die Methode zur Vervollständigung des Quadrats , begründet das Verfahren jedoch nicht. Der griechische Einfluss wird durch die geometrischen Grundlagen von Al-Jabr und durch ein von Heron übernommenes Problem gezeigt. Er verwendet Diagramme mit Buchstaben, aber alle Koeffizienten in allen seinen Gleichungen sind spezifische Zahlen, da er keine Möglichkeit hatte, mit Parametern auszudrücken, was er geometrisch ausdrücken könnte; obwohl Allgemeingültigkeit der Methode beabsichtigt ist. ${\displaystyle x=0,}$

Al-Khwarizmi wusste höchstwahrscheinlich nicht von Diophantus' Arithmetica , die den Arabern irgendwann vor dem 10. Jahrhundert bekannt wurde. Und obwohl al-Khwarizmi höchstwahrscheinlich von Brahmaguptas Werk wusste, ist Al-Jabr völlig rhetorisch, wobei die Zahlen sogar in Worten buchstabiert werden. Also zum Beispiel, was wir schreiben würden als

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

Diophantus hätte geschrieben als

${\displaystyle \Delta^{\Upsilon }{\overline {\alpha}}\varsigma {\overline {\iota}}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma\;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta}}}$

Und al-Khwarizmi hätte geschrieben als

Ein Quadrat und zehn Wurzeln desselben ergeben neununddreißig Dirhem ; das heißt, was muss das Quadrat sein, das, um zehn seiner eigenen Wurzeln erhöht, neununddreißig ergibt?

Logische Notwendigkeiten in gemischten Gleichungen

'Abd al-Hamīd ibn Turk verfasste ein Manuskript mit dem Titel Logical Necessities in Mixed Equations , das al-Khwarzimis Al-Jabr sehr ähnlich ist und ungefähr zur gleichen Zeit oder sogar früher als Al-Jabr veröffentlicht wurde . Das Manuskript gibt genau die gleiche geometrische Demonstration wie in Al-Jabr und in einem Fall das gleiche Beispiel wie in Al-Jabr und geht sogar über Al-Jabr hinaus, indem es einen geometrischen Beweis liefert , dass, wenn die Diskriminante negativ ist, die quadratische Gleichung hat keine Lösung. Die Ähnlichkeit zwischen diesen beiden Werken hat einige Historiker zu dem Schluss geführt, dass die arabische Algebra zur Zeit von al-Khwarizmi und 'Abd al-Hamid gut entwickelt gewesen sein könnte.

Abu Kamil und al-Karkhi

Arabische Mathematiker behandelten irrationale Zahlen als algebraische Objekte. Der ägyptische Mathematiker Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (ca. 850–930) akzeptierte als erster irrationale Zahlen (oft in Form einer Quadratwurzel , Kubikwurzel oder vierten Wurzel ) als Lösungen quadratischer Gleichungen oder als Koeffizienten in einer Gleichung. Er war auch der erste, der drei nichtlineare simultane Gleichungen mit drei unbekannten Variablen löste .

Al-Karkhi (953–1029), auch bekannt als Al-Karaji, war der Nachfolger von Abū al-Wafā' al-Būzjānī (940–998) und er entdeckte die erste numerische Lösung von Gleichungen der Form, die Al-Karkhi nur betrachtete positive Wurzeln. Al-Karkhi gilt auch als der erste Mensch, der die Algebra von geometrischen Operationen befreit und durch arithmetische Operationen ersetzt hat, die heute den Kern der Algebra bilden. Seine Arbeit über Algebra und Polynome gab die Regeln für arithmetische Operationen zur Manipulation von Polynomen an. Der Mathematikhistoriker F. Woepcke lobte in Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi ( Paris , 1853), Al-Karaji dafür, dass er "der erste war, der die Theorie der algebraischen Berechnung einführte". Ausgehend davon untersuchte Al-Karaji Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck . ${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c.}$

Omar Khayyám, Sharaf al-Dīn und al-Kashi

Omar Khayyám (ca. 1050 – 1123) schrieb ein Buch über Algebra, das über Al-Jabr hinausging und Gleichungen dritten Grades beinhaltete. Omar Khayyám lieferte sowohl arithmetische als auch geometrische Lösungen für quadratische Gleichungen, aber er gab nur geometrische Lösungen für allgemeine kubische Gleichungen, da er fälschlicherweise glaubte, dass arithmetische Lösungen unmöglich seien. Seine Methode zur Lösung kubischer Gleichungen unter Verwendung sich schneidender Kegelschnitte wurde von Menaechmus , Archimedes und Ibn al-Haytham (Alhazen) verwendet , aber Omar Khayyám verallgemeinerte die Methode, um alle kubischen Gleichungen mit positiven Wurzeln abzudecken. Er betrachtete nur positive Wurzeln und ging nicht über den dritten Grad hinaus. Er sah auch einen starken Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra.

Im 12. Jahrhundert schrieb Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213) die Al-Mu'adalat ( Abhandlung über Gleichungen ), die sich mit acht Arten von kubischen Gleichungen mit positiven Lösungen und fünf Arten von kubischen Gleichungen befasste, die möglicherweise nicht positive Lösungen haben. Er verwendet , was später als bekannt werden würde „ Ruffini - Horner Methode“ , um numerisch die Wurzel einer kubischen Gleichung annähern. Er entwickelte auch die Konzepte der Maxima und Minima von Kurven, um kubische Gleichungen zu lösen, die möglicherweise keine positiven Lösungen haben. Er verstand die Bedeutung der Diskriminante der kubischen Gleichung und verwendete eine frühe Version von Cardanos Formel , um algebraische Lösungen für bestimmte Typen kubischer Gleichungen zu finden. Einige Gelehrte, wie Roshdi Rashed, argumentieren, dass Sharaf al-Din die Ableitung kubischer Polynome entdeckt und ihre Bedeutung erkannt hat, während andere Gelehrte seine Lösung mit den Ideen von Euklid und Archimedes verbinden.

Sharaf al-Din hat auch das Konzept einer Funktion entwickelt . Bei seiner Analyse der Gleichung beginnt er beispielsweise damit, die Form der Gleichung in zu ändern . Er stellt dann fest, dass die Frage, ob die Gleichung eine Lösung hat, davon abhängt, ob die „Funktion“ auf der linken Seite den Wert erreicht oder nicht . Um dies zu bestimmen, findet er einen Maximalwert für die Funktion. Er weist nach, dass der Maximalwert wann eintritt , was den Funktionswert angibt . Sharaf al-Din erklärt dann, dass es keine positiven Lösungen gibt, wenn dieser Wert kleiner ist als ; wenn es gleich ist , dann gibt es eine Lösung bei ; und ist er größer als , dann gibt es zwei Lösungen, eine zwischen und und eine zwischen und . ${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$${\displaystyle x^{2}(bx)=d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle b}$

Im frühen 15. Jahrhundert entwickelte Jamshīd al-Kāshī eine frühe Form von Newtons Methode , um die Gleichung numerisch zu lösen , um Wurzeln von zu finden . Al-Kāshī entwickelte auch Dezimalbrüche und behauptete, sie selbst entdeckt zu haben. J. Lennart Berggrenn stellt jedoch fest , dass er sich geirrt, als Dezimalbrüche zuerst vor ihm fünf Jahrhunderten verwendet wurden von der Baghdadi Mathematiker Abu'l-Hasan al-Uqlidisi bereits im 10. Jahrhundert. ${\displaystyle x^{P}-N=0}$${\displaystyle N}$

Al-Hassār, Ibn al-Banna und al-Qalasadi

Al-Hassar , ein Mathematiker aus Marokko in spezialisierten islamischen Erbe Jurisprudenz während des 12. Jahrhunderts entwickelte sich die moderne symbolische mathematische Schreibweise für Fraktionen , wobei der Zähler und Nenner durch einen horizontalen Balken getrennt sind. Dieselbe gebrochene Notation tauchte bald darauf im Werk von Fibonacci im 13. Jahrhundert auf.

Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1412–1486) war der letzte bedeutende arabische Algebraist des Mittelalters , der seit Ibn al-Banna zwei Jahrhunderte zuvor den ersten Versuch unternahm, eine algebraische Notation zu erstellen , der selbst der erste war, der eine solche Notation erstellte Versuch seit Diophantus und Brahmagupta in der Antike. In den synkopierten Notationen seiner Vorgänger fehlten jedoch Symbole für mathematische Operationen . Al-Qalasadi "unternahm die ersten Schritte zur Einführung der algebraischen Symbolik, indem er Buchstaben anstelle von Zahlen verwendete" und "kurze arabische Wörter oder nur ihre Anfangsbuchstaben als mathematische Symbole verwendete".

Europa und der Mittelmeerraum

So wie der Tod von Hypatia das Ende der Bibliothek von Alexandria als mathematisches Zentrum signalisiert , so signalisiert der Tod von Boethius das Ende der Mathematik im Weströmischen Reich . Obwohl in Athen einiges getan wurde , wurde es beendet, als 529 der byzantinische Kaiser Justinian die heidnischen philosophischen Schulen schloss. Das Jahr 529 gilt heute als Beginn des Mittelalters. Gelehrte flohen aus dem Westen in den gastfreundlicheren Osten, insbesondere nach Persien , wo sie unter König Chosroes Zuflucht fanden und eine so genannte "Athenische Akademie im Exil" gründeten. Unter einem Vertrag mit Justinian würde Chosroes die Gelehrten schließlich ins Oströmische Reich zurückbringen . Während des Mittelalters befand sich die europäische Mathematik auf ihrem Tiefpunkt, wobei die mathematische Forschung hauptsächlich aus Kommentaren zu antiken Abhandlungen bestand; und die meisten dieser Forschungen konzentrierten sich auf das Byzantinische Reich . Das Ende des Mittelalters wird als der Fall Konstantinopels an die Türken im Jahr 1453 festgelegt.

Spätmittelalter

Das 12. Jahrhundert erlebte eine Flut von Übersetzungen aus dem Arabischen ins Lateinische und im 13. Jahrhundert begann die europäische Mathematik mit der Mathematik anderer Länder zu konkurrieren. Im 13. Jahrhundert steht die Lösung einer kubischen Gleichung von Fibonacci stellvertretend für den Beginn einer Wiederbelebung der europäischen Algebra.

Während die islamische Welt nach dem 15. Jahrhundert unterging, stieg die europäische Welt auf. Und hier wurde die Algebra weiterentwickelt.

Symbolische Algebra

Die moderne Notation für arithmetische Operationen wurde zwischen Ende des 15. Jahrhunderts und Anfang des 16. Jahrhunderts von Johannes Widmann und Michael Stifel eingeführt . Ende des 16. Jahrhunderts führte François Viète Symbole ein, die heute als Variablen bezeichnet werden , um unbestimmte oder unbekannte Zahlen darzustellen. Dadurch entstand eine neue Algebra, die aus dem Rechnen mit symbolischen Ausdrücken besteht, als ob es Zahlen wären.

Ein weiteres Schlüsselereignis in der Weiterentwicklung der Algebra war die Mitte des 16. Jahrhunderts entwickelte allgemeine algebraische Lösung der kubischen und quartischen Gleichungen . Die Idee einer Determinante wurde entwickelt von japanischen Mathematiker Kowa Seki im 17. Jahrhundert, gefolgt von Gottfried Leibniz zehn Jahre später, zum Zwecke der Systeme von simultanen linearen Gleichungen gelöst werden unter Verwendung von Matrizen . Gabriel Cramer hat sich im 18. Jahrhundert auch mit Matrizen und Determinanten beschäftigt.

Das Symbol x

Traditionell wird die erste unbekannte Variable in einem algebraischen Problem heute durch das Symbol repräsentiert und wenn es eine zweite oder dritte Unbekannte gibt, dann werden diese mit bzw. bezeichnet. Algebraisch wird üblicherweise kursiv gedruckt , um es vom Multiplikationszeichen zu unterscheiden. ${\displaystyle {\mathit {x}}}$${\displaystyle {\mathit {y}}}$${\displaystyle {\mathit {z}}}$${\displaystyle x}$

Mathematikhistoriker sind sich im Allgemeinen einig, dass die Verwendung von in der Algebra von René Descartes eingeführt und erstmals in seiner Abhandlung La Géométrie (1637) veröffentlicht wurde. In dieser Arbeit verwendete er Buchstaben vom Anfang des Alphabets für bekannte Größen und Buchstaben vom Ende des Alphabets für Unbekannte. Es wurde vermutet, dass er sich später wegen seiner relativ größeren Fülle in den französischen und lateinischen typografischen Schriften der Zeit für (anstelle von ) für die erste Unbekannte entschied. ${\displaystyle x}$${\displaystyle (a,b,c,\ldots)}$${\displaystyle (z,y,x,\ldots)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

Drei alternative Theorien über den Ursprung der Algebra wurden im 19. Jahrhundert vorgeschlagen: (1) ein Symbol, das von deutschen Algebraisten verwendet wird und von einem fälschlicherweise mit fälschlicherweise verwechselten Kursivbuchstaben abgeleitet wird ; (2) die Ziffer 1 schräg durchgestrichen ; und (3) eine arabische/spanische Quelle (siehe unten). Aber der schweizerisch-amerikanische Mathematikhistoriker Florian Cajori untersuchte diese und stellte fest, dass es allen dreien an konkreten Beweisen mangelte; Cajori schrieb Descartes als den Urheber zu und beschrieb seine und als "frei von Tradition[,] und ihrer Wahl rein willkürlich". ${\displaystyle x}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x,y,}$${\displaystyle z}$

Dennoch ist die hispano-arabische Hypothese auch heute noch in der Populärkultur präsent. Es ist die Behauptung, dass algebraisch die Abkürzung eines vermeintlichen Lehnwortes aus dem Arabischen im Altspanischen ist. Die Theorie entstand 1884 mit dem deutschen Orientalisten Paul de Lagarde , kurz nachdem er seine Ausgabe eines 1505 spanisch/arabisch zweisprachigen Glossars veröffentlicht hatte, in dem die spanische cosa ("Ding") mit ihrem arabischen Äquivalent, شىء ( shay ^ʔ ), transkribiert wurde als xei . (Der Laut "sh" wurde im Altspanischen routinemäßig buchstabiert. ) Offensichtlich war Lagarde bewusst, dass arabische Mathematiker in der "rhetorischen" Phase der Entwicklung der Algebra dieses Wort oft benutzten, um die unbekannte Größe darzustellen. Er vermutete, dass "nichts natürlicher sein könnte" ("Nichts war auch natürlicher..."), als dass der Anfang des arabischen Wortes – romanisiert als Altspanisch – in die Algebra übernommen würde. Ein späterer Leser interpretierte die Vermutung von Lagarde so, dass sie den Punkt "bewiesen" habe. Lagarde war sich nicht bewusst, dass die frühen spanischen Mathematiker keine Transkription des arabischen Wortes verwendeten, sondern seine Übersetzung in ihre eigene Sprache, "cosa". Es gibt kein Beispiel für xei oder ähnliche Formen in mehreren zusammengestellten historischen Vokabeln des Spanischen. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$${\displaystyle x}$

Gottfried Leibniz

Obwohl der mathematische Begriff der Funktion in trigonometrischen und logarithmischen Tabellen , die zu seiner Zeit existierten, implizit enthalten war , war Gottfried Leibniz der erste, der 1692 und 1694 ihn explizit verwendete, um eines von mehreren geometrischen Konzepten zu bezeichnen, die von einer Kurve abgeleitet wurden, wie z Abszisse , Ordinate , Tangente , Sehne und Senkrechte . Im 18. Jahrhundert verlor die "Funktion" diese geometrischen Assoziationen.

Leibniz erkannte, dass die Koeffizienten eines Systems linearer Gleichungen in einem Array angeordnet werden können, das jetzt als Matrix bezeichnet wird und manipuliert werden kann, um die Lösung des Systems, falls vorhanden, zu finden. Diese Methode wurde später als Gaußsche Elimination bezeichnet . Leibniz entdeckte auch die Boolesche Algebra und die symbolische Logik , die auch für die Algebra relevant sind.

Abstrakte Algebra

Die Fähigkeit zur Algebra ist eine im Mathematikunterricht kultivierte Fertigkeit . Wie von Andrew Warwick erklärt, praktizierten Studenten der Universität Cambridge im frühen 19. Jahrhundert "gemischte Mathematik", indem sie Übungen auf der Grundlage physikalischer Variablen wie Raum, Zeit und Gewicht machten . Im Laufe der Zeit verblasste die Verbindung von Variablen mit physikalischen Größen, als die mathematische Technik wuchs. Schließlich beschäftigte sich die Mathematik vollständig mit abstrakten Polynomen , komplexen Zahlen , hyperkomplexen Zahlen und anderen Konzepten. Die Anwendung auf physikalische Situationen wurde dann angewandte Mathematik oder mathematische Physik genannt , und das Gebiet der Mathematik wurde um die abstrakte Algebra erweitert . Zum Beispiel zeigte die Frage der konstruierbaren Zahlen einige mathematische Einschränkungen, und das Gebiet der Galois-Theorie wurde entwickelt.

Der Vater der Algebra

Der Titel „Vater der Algebra“ häufig an den Persischen gutgeschrieben Mathematiker Al-Khwarizmi , unterstützt von Historikern der Mathematik , wie Carl Benjamin Boyer , Solomon Gandz und Bartel Leendert van der Waerden . Der Punkt ist jedoch umstritten und der Titel wird manchmal dem hellenistischen Mathematiker Diophantus zugeschrieben . Diejenigen , die Diophantus Punkt zur Algebra Unterstützung gefunden in Al-Jabr ist mehr elementar als die Algebra gefunden Arithmetica und Arithmetica synkopierte, während Al-Jabr voll rhetorisch ist. Der Mathematikhistoriker Kurt Vogel spricht sich jedoch gegen Diophantus mit diesem Titel aus, da seine Mathematik nicht viel algebraischer war als die der alten Babylonier .

Die Befürworter von Al-Khwarizmi weisen darauf hin, dass er die algebraische Lösung quadratischer Gleichungen mit positiven Wurzeln erschöpfend erklärt und als erster Algebra in elementarer Form und um ihrer selbst willen gelehrt hat, während sich Diophantus hauptsächlich mit die Zahlentheorie . Al-Khwarizmi führte auch das grundlegende Konzept der "Reduktion" und "Ausbalancierung" ein (auf das er ursprünglich den Begriff al-jabr verwendete ) und bezog sich auf die Transposition subtrahierter Terme auf die andere Seite einer Gleichung, d Aufhebung gleicher Terme auf gegenüberliegenden Seiten der Gleichung. Andere Anhänger von Al-Khwarizmi weisen darauf hin, dass es seiner Algebra nicht mehr um eine Reihe von zu lösenden Problemen geht , sondern um eine Darstellung, die mit primitiven Begriffen beginnt, in denen die Kombinationen alle möglichen Prototypen für Gleichungen ergeben müssen, die fortan explizit die wahren darstellen Studienobjekt." Sie verweisen auch auf seine Behandlung einer Gleichung um ihrer selbst willen und „in einer generischen Weise, insofern sie nicht einfach im Zuge einer Problemlösung auftaucht, sondern speziell dazu aufgerufen ist, eine unendliche Klasse von Problemen zu definieren“. Victor J. Katz betrachtet Al-Jabr als den ersten noch erhaltenen echten algebraischen Text.

Siehe auch

• Al-Mansur  – Zweiter abbasidischer Kalif (reg. 754–775)
• Zeitleiste der Algebra  – Bemerkenswerte Ereignisse in der Geschichte der Algebra

Verweise

Quellen

• Alcalá, Pedro de (1505), De lingua arabica , Granada (Ausgabe von Paul de Lagarde, Göttingen: Arnold Hoyer, 1883)CS1 Wartung: Standort ( Link )
• Alonso, Martín (1986), Diccionario del español mittelalterlich , Salamanca: Universidad Pontificia de Salamanca
• Aurel, Marco (1552), Libro primeo de arithmetica algebratica , Valencia: Joan de Mey
• Bashmakova, I und Smirnova, G. (2000) Die Anfänge und Evolution der Algebra , Dolciani Mathematical Expositions 23. Übersetzt von Abe Shenitzer. Die Mathematische Vereinigung von Amerika.
• Boyer, Carl B. (1991), Geschichte der Mathematik (zweite Aufl.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8
• Burton, David M. (1995), Burtons Geschichte der Mathematik: Eine Einführung (3. Aufl.), Dubuque: Wm. C. Braun
• Burton, David M. (1997), Die Geschichte der Mathematik: Eine Einführung (Dritte Aufl.), The McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN 978-0-07-009465-9
• Cajori, Florian (1919), "How x Came to Stand for Unknown Quantity" , School Science and Mathematics , 19 (8): 698–699, doi : 10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Cajori, Florian (1928), A History of Mathematical Notations , Chicago: Open Court Publishing, ISBN 9780486161167
• Cooke, Roger (1997), Die Geschichte der Mathematik: Ein kurzer Kurs , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-18082-1
• Derbyshire, John (2006), Unbekannte Menge: Eine reale und imaginäre Geschichte der Algebra , Washington, DC: Joseph Henry Press, ISBN 978-0-309-09657-7
• Descartes, René (1637), La Géométrie , Leyde: Ian Maire. Online-Ausgabe 2008. von L. Hermann, Projekt Gutenberg.
• Descartes, René (1925), Die Geometrie von René Descartes , Chicago: Open Court, ISBN 9781602066922
• Díez, Juan (1556), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los reynos del Piru son necessarias a los mercaderes: y todo genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al arithmetica , Mexiko-Stadt
• Eneström, Gustaf (1905), "Kleine Mitteilungen" , Bibliotheca Mathematica , Ser. 3, 6 (Online-Zugriff nur in den USA)
• Flegg, Graham (1983), Zahlen: Ihre Geschichte und Bedeutung , Dover-Publikationen, ISBN 978-0-486-42165-0
• Heath, Thomas Little (1981a), A History of Greek Mathematics, Band I , Dover-Publikationen, ISBN 978-0-486-24073-2
• Heath, Thomas Little (1981b), A History of Greek Mathematics, Band II , Dover-Publikationen, ISBN 978-0-486-24074-9
• Jacob, Georg (1903), "Oriental Elements of Culture in the Occident" , Jahresbericht des Board of Regents der Smithsonian Institution [...] für das am 30. Juni 1902 endende Jahr: 509–529
• Kasten, Lloyd A. ; Cody, Florian J. (2001), Tentative Dictionary of Medieval Spanish (2. Aufl.), New York: Hispanic Seminary of Medieval Studies
• Katz, Victor J.; Parshall, Karen Hunger (2014), Taming the Unknown: A History of Algebra from Antiquity to the Early Twentieth Century , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-1-400-85052-5
• Lagarde, Paul de (1884), "Woher stammt das x der Mathematiker?" , Mittheilungen , 1 , Göttingen: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, S. 134–137
• Nunes, Pedro (1567), Libro de algebra en arithmetica y geometria , Antwerpen: Arnoldo Birckman
• Oelschläger, Victor RB (1940), A Medieval Spanish Word-List , Madison: University of Wisconsin Press
• Ortega, Juan de (1552), Tractado subtilissimo de arismetica y geometria , Granada: René Rabut
• Pérez de Moya, Juan (1562), Aritmética práctica y especulativa , Salamanca: Mathias Gast
• Puig, Andrés (1672), Arithmetica especulativa y practica; y arte de algebra , Barcelona: Antonio Lacavalleria
• Rider, Robin E. (1982), A Bibliography of Early Modern Algebra, 1500-1800 , Berkeley: Berkeley Papers in History of Science
• Sesiano, Jacques (1999), An Introduction to the History of Algebra: Solving Equations from Mesopotamian Times to the Renaissance , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 9780821844731
• Stillwell, John (2004), Mathematik und ihre Geschichte (2. Aufl.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 978-0-387-95336-6
• Swetz, Frank J. (2013), The European Mathematical Awakening: A Journey Through the History of Mathematics, 1000-1800 (2. Aufl.), Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 9780486498058
• Tropfke, Johannes (1902), Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung , 1 , Leipzig: Von Veit & Comp.

Externe Links

• „Kommentar von Islam Sheikh Zakariyya al-Ansari auf Ibn al-Hā'im Gedicht über die Wissenschaft der Algebra und Auswuchten des Schöpfers Epiphany Genannt in der Cogent Erklärung“ die grundlegenden Konzepte der Algebra aus dem 15. Jahrhundert mit, von der World Digital Bibliothek .