Absolute Geometrie - Absolute geometry

Geometrie
Projizieren einer Kugel auf eine Ebene
Gliederung Geschichte
Geäst Euklidisch Nichteuklidisch Elliptisch Sphärisch Hyperbolisch Nicht-archimedische Geometrie Projektiv Affine Synthetik Analytisch Algebraisch Arithmetik Diophantin Differential Riemannian Symplektisch Diskretes Differential Komplex Endlich Diskret / kombinatorisch Digital Konvex Computational Fraktal Vorfall
Konzepte Eigenschaften Abmessungen Lineal- und Kompasskonstruktionen Winkel Kurve Diagonale Orthogonalität ( senkrecht ) Parallel Scheitel Kongruenz Ähnlichkeit Symmetrie
Nulldimensional Punkt
Eindimensional Linie Segment Strahl Länge
Zweidimensional Flugzeug Bereich Polygon Dreieck Höhe Hypotenuse Satz des Pythagoras Parallelogramm Quadrat Rechteck Rhombus Rhomboid Viereck Trapez Drachen Kreis Durchmesser Umfang Bereich
Dreidimensional Volumen Würfel Quader Zylinder Pyramide Kugel
Vier - / andere Dimensionen Tesseract Hypersphäre
Geometer
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nach Zeitraum BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euklid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400er - 1700er Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700er - 1900er Jahre Gauß Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Heutige Tag Atiyah Gromov
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Absolute Geometrie ist eine Geometrie, die auf einem Axiomensystem für die euklidische Geometrie ohne das parallele Postulat oder eine seiner Alternativen basiert . Traditionell bedeutete dies, nur die ersten vier Postulate von Euklid zu verwenden , aber da diese als Grundlage der euklidischen Geometrie nicht ausreichen, werden andere Systeme wie Hilberts Axiome ohne das parallele Axiom verwendet. Der Begriff wurde 1832 von János Bolyai eingeführt. Er wird manchmal als neutrale Geometrie bezeichnet , da er in Bezug auf das parallele Postulat neutral ist.

Eigenschaften

Man könnte sich vorstellen, dass die absolute Geometrie ein eher schwaches System ist, aber das ist nicht der Fall. In Euklids Elementen vermeiden die ersten 28 Sätze und Satz 31 die Verwendung des parallelen Postulats und sind daher in absoluter Geometrie gültig. Man kann auch in absoluter Geometrie den Außenwinkelsatz (ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder der entfernten Winkel) sowie den Saccheri-Legendre-Satz beweisen , der besagt, dass die Summe der Maße der Winkel in a Dreieck hat höchstens 180 °.

Satz 31 ist die Konstruktion einer parallelen Linie zu einer gegebenen Linie durch einen Punkt, der nicht auf der gegebenen Linie liegt. Da der Beweis nur die Verwendung von Satz 27 (dem alternativen Innenwinkelsatz) erfordert, handelt es sich um eine gültige Konstruktion in absoluter Geometrie. Genauer gesagt gibt es bei jeder Linie l und jedem Punkt P, der nicht auf l liegt , mindestens eine Linie durch P, die parallel zu l ist . Dies kann unter Verwendung einer vertraute Konstruktion nachgewiesen werden: Bei einem gegebenen Zeile l und ein Punkt P nicht auf l , fällt die senkrecht m von P zu L , aufrecht dann ein senkrecht n zu m durch P . Nach dem alternativen Innenwinkelsatz ist l parallel zu n . (Der Satz des alternativen Innenwinkels besagt, dass a und b parallel sind , wenn die Linien a und b durch eine Transversale t geschnitten werden, so dass es ein Paar kongruenter alternativer Innenwinkel gibt.) Die vorstehende Konstruktion und der Satz des alternativen Innenwinkels hängen nicht vom parallelen Postulat ab und gelten daher in absoluter Geometrie.

In der absoluten Geometrie ist es auch nachweisbar, dass sich zwei Linien senkrecht zu derselben Linie nicht schneiden können (wodurch die beiden Linien per Definition paralleler Linien parallel sind), was beweist, dass die Gipfelwinkel eines Saccheri-Vierecks nicht stumpf sein können und die sphärische Geometrie nicht eine absolute Geometrie.

Beziehung zu anderen Geometrien

Die Sätze der absoluten Geometrie gelten sowohl für die hyperbolische Geometrie , die eine nichteuklidische Geometrie ist , als auch für die euklidische Geometrie .

Die absolute Geometrie widerspricht der elliptischen Geometrie : In dieser Theorie gibt es überhaupt keine parallelen Linien, aber es ist ein Satz der absoluten Geometrie, dass parallele Linien existieren. Es ist jedoch möglich, das Axiomensystem so zu modifizieren, dass die absolute Modifikation, wie sie durch das modifizierte System definiert wird, sphärische und elliptische Geometrien enthält, die keine parallelen Linien aufweisen.

Absolute Geometrie ist eine Erweiterung der geordneten Geometrie , und daher gelten alle Sätze in geordneter Geometrie in absoluter Geometrie. Das Gegenteil ist nicht wahr. Bei der absoluten Geometrie werden die ersten vier Axiome von Euklid (oder ihre Äquivalente) im Gegensatz zur affinen Geometrie angenommen , bei der das dritte und vierte Axiom von Euklid nicht angenommen werden. (3: „Um einen beschreiben Kreis mit jedem Zentrum und Entfernungsradius .“, 4: „ der alle rechten Winkel zueinander gleich sind.“) Sortiert Geometrie eine gemeinsame Grundlage der absoluten und affine Geometrie ist.

Die Geometrie der speziellen Relativitätstheorie wurde ausgehend von neun Axiomen und elf Sätzen der absoluten Geometrie entwickelt. Die Autoren Edwin B. Wilson und Gilbert N. Lewis gehen dann über die absolute Geometrie hinaus, wenn sie die hyperbolische Rotation als Transformation für zwei Referenzrahmen einführen .

Hilbert Flugzeuge

Eine Ebene, die Hilberts Axiomen Inzidenz , Zwischenheit und Kongruenz erfüllt, wird als Hilbert-Ebene bezeichnet . Hilbert-Ebenen sind Modelle absoluter Geometrie.

Unvollständigkeit

Absolute Geometrie ist ein unvollständiges axiomatisches System in dem Sinne, dass man zusätzliche unabhängige Axiome hinzufügen kann, ohne das Axiomensystem inkonsistent zu machen. Man kann die absolute Geometrie erweitern, indem man verschiedene Axiome um parallele Linien hinzufügt und inkompatible, aber konsistente Axiomensysteme erhält, wodurch eine euklidische oder hyperbolische Geometrie entsteht. Somit ist jeder Satz der absoluten Geometrie ein Satz der hyperbolischen Geometrie und der euklidischen Geometrie. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall.

Siehe auch

• Affine Geometrie
• Erlangen Programm
• Grundlagen der Geometrie
• Inzidenzgeometrie
• Nichteuklidische Geometrie

Anmerkungen

Verweise

• Coxeter, HSM (1969), Einführung in die Geometrie (2. Aufl.), New York: John Wiley & Sons CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link )
• Faber, Richard L. (1983), Grundlagen der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie , New York: Marcel Dekker, ISBN   0-8247-1748-1
• Greenberg, Marvin Jay (2007), Euklidische und nichteuklidische Geometrien: Entwicklung und Geschichte (4. Aufl.), New York: WH Freeman, ISBN   0-7167-9948-0 CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link )
• Greenberg, Marvin Jay (2010), "Alte und neue Ergebnisse in den Grundlagen euklidischer und nichteuklidischer Geometrien der Elementarebene" (PDF) , Mathematical Association of America Monthly , 117 : 198–219 CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link )
• Hartshorne, Robin (2005), Geometrie: Euklid und darüber hinaus , New York: Springer-Verlag, ISBN   0-387-98650-2
• Pambuccain, Victor Axiomatisierungen hyperbolischer und absoluter Geometrien , in: Nichteuklidische Geometrien (A. Prékopa und E. Molnár, Hrsg.). János Bolyai Gedenkband. Beiträge von der internationalen Konferenz über hyperbolische Geometrie, Budapest, Ungarn, 6. bis 12. Juli 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

Externe Links

• Medien zur absoluten Geometrie bei Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Absolute Geometrie" . MathWorld .